Теория:

Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит две плоскости или пересекаются или не пересекаются.
 
Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.
Параллельные плоскости α и β обозначаются αβ
Пример:
Любая конструкция с полом, потолком и стенами даёт нам представление о параллельных плоскостях - пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.
Paralelas_plaknes_04.jpg
 
Paralelas_plaknes_03.jpg
 
Paralelas_plaknes_01.jpg
 
Признак параллельности плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Divas_plaknes_3.png
Доказательство.
Пусть α и β - данные плоскости, a1 и a2 – пересекающиеся прямые в плоскости α, а b1 и b2 соответственно параллельные им прямые в плоскости β.
 
Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой \(c\).
Прямая a1 параллельна прямой b1, значит она параллельна и самой  плоскости β.
Прямая a2 параллельна прямой b2,  значит она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).
 
Прямая \(c\) принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a1 или a2 пересекает  прямую \(c\), то есть имеет с ней общую точку. Но прямая \(c\) также принадлежит и плоскости β,  значит, пересекая прямую \(c\), прямая a1 или a2 пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β.
Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны.
Свойства параллельных плоскостей.
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
 Divas_plaknes_ar_treso.png
Доказательство.
Пусть α и β - параллельные плоскости, а γ- плоскость, пересекающая их.
Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой \(a\).  
Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой \(b\). 
 
Линии пересечения \(a\) и \(b\) лежат  в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.
 
Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны. 
 Divas_plaknes_ar_paralelam_taisnem.png
Доказательство.
Пусть α и β - параллельные плоскости, а \(a\) и \(b\) – параллельные прямые, пересекающие их.
Через прямые \(a\) и \(b\) можно провести плоскость - эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причём только одну.
Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой \(AB\), а с плоскостью β по прямой \(CD\). 
По предыдущей  теореме прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны. Четырехугольник \(ABCD\) есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть \(BC = AD\).