Теория:

1. Параллельные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.
  
Параллельность прямых \(a\) и \(b\) обозначается так: ab илиba.
 
Teорема 1.  Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.
Taisnes_paral1.png
Доказательство:
1. Так как прямые \(a\) и \(b\) параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α.
2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой \(a\) обозначаем точки \(B\) и \(C\), а на прямой \(b\) точку \(A\).
3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (2 аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые \(a\) и \(b\).
 
Теорема 2.  Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну.
Taisnes_paral2.png
Доказательство:
1. Через данную прямую \(a\) и точку \(M\), которая не лежит на прямой, проводится плоскость α.
2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).
3. А в плоскости α через точку \(M\) можно провести только одну прямую \(b\), которая параллельна прямой \(a\).
 
Теорема 3.  Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Taisnes_paral3.png
(1. рис.)
Taisnes_paral4.png
(2. рис.)
  
Доказательство:
Рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\) и допустим, что прямая \(b\) пересекает плоскость α в точке \(M\) (1. рис.).
 
Из 1-ой теоремы известно, что через параллельные прямые \(a\) и \(b\) можно провести только одну плоскость β.
 
Так как точка \(M\) находится на прямой \(b\), то \(M\) также принадлежит плоскости β(2. рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка \(M\), то у этих плоскостей есть общая прямая \(c\), которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).
 
Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) находятся в плоскости β.
Если в этой плоскости одна из параллельных прямых \(b\) пересекает прямую \(c\), то вторая прямая \(a\) тоже пересекает \(c\).
 
Точку пересечения прямых \(a\) и \(c\) обозначим за \(K\).
Так как точка \(K\) находится на прямой \(c\), то \(K\) находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой \(a\) и плоскости α.
Значит, прямая \(a\) пересекает плоскость α в точке \(K\).
 
Теорема 4.  Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Taisnes_paral5.png
Дано: acиbc
Доказать: ab
Доказательство:
Выберем точку \(M\) на прямой \(b\).
Через точку \(M\) и прямую \(a\), которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).
 
Возможны два случая:
1) прямая \(b\) пересекает плоскость α или 2) прямая \(b\) находится в плоскости α.
 
Пусть прямая \(b\) пересекает плоскость α.
Значит, прямая \(c\), которая параллельна прямой \(b\), тоже пересекает плоскость α. Так как ac, то получается, что \(a\) тоже пересекает эту плоскость. Но прямая \(a\) не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно,  предположение, что прямая \(b\) пересекает плоскость α, является неверным.
Значит, прямая \(b\) находится в плоскости α.
 
Теперь нужно доказать, что прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
Пусть у прямых \(a\) и \(b\) есть общая точка \(L\).
Это означает, что через точку \(L\) проведены две прямые \(a\) и \(b\), которые параллельны прямой \(c\). Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые \(a\) и \(b\) не имеют общих точек.
Так как прямые \(a\) и \(b\) находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.
 
Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых.
Выводы:
1) Любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.
2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: еслиabиbc,тоac.
 
 
Пример:
Одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.
Plakne_paralelograms.png
 
Допустим, что у параллелограмма \(ABCD\) сторона \(AD\) пересекает плоскость α в точке \(K\).
Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону \(CD\), тоже пересекает плоскость α.
 
2. Параллельность прямой и плоскости
Согласно аксиомам, если две точки прямой находятся в некоторой плоскости, то прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
1) прямая лежит (находится) в плоскости
2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются)
3) прямая и плоскость не имеют общих точек
 
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
  
Теорема 5 „Признак параллельности прямой и плоскости”.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.
Taisnes_paral6.png
Доказательство:
Доказательство проведем от противного. Пусть \(a\) не параллельна плоскости α, тогда прямая \(a\) пересекает плоскость в некоторой точке \(A\). Причем \(A\) не находится на \(b\), так как ab. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые \(a\) и \(b\) скрещивающиеся.
Taisnes_paral7.png
Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации ab, они не могут быть скрещивающимися. Значит прямая \(a\) должна быть параллельна плоскости α.
 
Обрати внимание!
Следующие две теоремы очень часто используются при решении задач.
Теорема 6.
Если плоскость
β проходит через данную прямую \(a\), параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой \(b\), то ba.
 
Taisnes_paral8.png
Обрати внимание!
Прямую \(b\) иногда называют следом плоскости β на плоскости α.
  
Теорема 7.
Если одна из двух параллельных прямых
ab параллельна данной плоскости α, то другая прямая либо параллельна этой плоскости либо лежит в этой плоскости.
 
Источники:
Л. С. Атанасян; В. Ф. Бутузов; С. Б. Кадомцев; Л. С. Киселева; Э. Г. Позняк
"Геометрия 10 - 11 классы"
Москва, "Просвещение" 2009