Теория:

Тетраэдр. Виды тетраэдров.
Tetraedr2.jpg
 
Тетраэдр (четырехгранник) - многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. (от греческого tetra - четыре и hedra - грань).
Tetraedrs_nereg.png
Рис. 1.
 
У тетраэдра \(4\) грани, \(4\) вершины и \(6\) ребер (Рис.1.).
Один из треугольников называется основанием тетраэдра, а три остальные - боковыми гранями тетраэдра.
 
В зависимости от видов треугольников и их расположения, выделяют разные виды тетраэдров.
В школьном курсе чаще говорят о следующих видах тетраэдра:
- равногранный  тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники;
- правильная  треугольная  пирамида - основание равносторонний треугольник, все боковые грани одинаковые равнобедренные треугольники (Рис. 3.)
- правильный  тетраэдр, у которого все четыре грани - равносторонние треугольники (Рис. 2.).
   Tetraedrs_reg.png         Tetraedrs_trijst_piram.png
    Рис. 2.                                                             Рис. 3.
 
Свойство правильного тетраэдра:
Из определения правильного многогранника следует, что все ребра тетраэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь.
 
 
Параллелепипед. Виды параллелепипедов.
 
VIEPD.png   oblique_rhombic_prism.gif
Параллелепипедом называется многогранник, у которого \(6\) граней - параллелограммы.
 
Psk_slips1.png
Рис. 4.
 
У параллелепипеда, как отмечено, \(6\) граней, \(8\) вершин и \(12\) ребер (Рис. 4.).
Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер — противоположными.
 
Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда.
 
Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами.
 
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда (Рис. 5.).
Psk_taisns.png
Рис. 5.
 
В зависимости от видов параллелограммов и их расположения, выделяют разные виды параллелепипедов:
Параллелепипеды могут быть прямые и наклонные.
 
У прямых параллелепипедов боковые грани прямоугольники (Рис. 5.),
у наклонных - параллелограммы (Рис. 4.).
 
Прямой параллелепипед, у которого основанием тоже является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.
 
Psk_taisns_dimensijas.png
Рис. 6.
 
Длины непараллельных рёбер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).
У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера DA, DC, DD1 (Рис. 6.). 
 
Свойства параллелепипеда:
- Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
- Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
- Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.
 
Построение сечения тетраэдра и параллелепипеда.
Плоскостью сечения многогранника можно назвать любую плоскость, по обе стороны которой находятся точки многогранника.
Секущая плоскость пересекает грани многогранников по отрезкам.
Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
 
Так как у тетраэдра \(4\) грани, то сечением тетраэдра может быть треугольник (Рис. 7.) или
четырехугольник (Рис. 8.).
 
Tetr_sk_3.png           Tetr_sk_4.png
Рис. 7.                                                                  Рис. 8.
 
У параллелепипеда \(6\) граней, поэтому сечением этого многогранника может быть треугольник (Рис. 9.), четырехугольник ( Рис. 10. ),
пятиугольник (Рис. 11. ) или шестиугольник (Рис. 12.).
Psk05.pngPsk_pierad8.pngPsk_skel.pngPsk06.png
Рис. 9.      Рис. 10.     Рис. 11.  Рис. 12.
  
При построении сечения надо вспомнить следующие знания из предыдущих тем:
 
1. Если две точки прямой принадлежит плоскости, то прямая находится в этой плоскости.
2. Если две плоскости имеют общую точку, то эти плоскости пересекаются по прямой.
3. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.
 
Пример:
Задача
Построить сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки \(K\), \(M\) и \(N\).
Uzd_paraugs.png
1. проводим \(MK\) так как обе точки находятся в одной плоскости
 
2. MKCC1=X непараллельные прямые в одной плоскости пересекаются
Uzd_paraugs1.png
3. проводим \(XN\) так как обе точки находятся в одной плоскости
 
4. XND1C1=P
Uzd_paraugs2.png
 
5. проводим \(MP\) так как обе точки находятся в одной плоскости
 
6. через точку \(N\) в плоскости основанияNLMP так как линии пересечения параллельных плоскостей с третьей плоскостью должны быть параллельны
Uzd_paraugs3.png
 
7. Соединяем \(N\) и \(L\) и получаем сечение \(MPNLK\).
Uzd_paraugs4.png
 
Источники:
Л. С. Атанасян; В. Ф. Бутузов; С. Б. Кадомцев; Л. С. Киселева; Э. Г. Позняк "Геометрия 10 - 11 классы" Москва, "Просвещение" 2009