Теория:

Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
В пространстве перпендикулярными называют не только пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые, так как мы говорим об угле, который могут образовать эти прямые, если их поместить в одной плоскости.
 
Так же как и в плоскости, в пространстве перпендикулярные прямые \(a\) и \(b\) обозначают ab.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая перпендикулярна к этой прямой.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости.
Plakne_2taisnes_teorija1.png
Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается как aα.
Через любую точку пространства проходит прямая перпендикулярно данной плоскости, притом только одна.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Plakne_taisne_perp_teorija.png
Доказательство:
 
Пусть \(a\) — прямая, перпендикулярная прямым \(b\) и \(c\) в плоскости. Проведём прямую \(a\) через точку \(A\) пересечения прямых \(b\) и \(c\). Докажем, что прямая \(a\) перпендикулярна плоскости, то есть каждой прямой в этой плоскости.

1. Проведём произвольную прямую \(x\) через точку \(A\) в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой \(a\). Проведём в плоскости  произвольную прямую, не проходящую через точку \(A\) и пересекающую прямые \(b\), \(c\) и \(x\). Пусть точками пересечения будут \(B\), \(C\) и \(X\).
 
2. Отложим на прямой \(a\) от точки \(A\) в разные стороны равные отрезки \(AM\) и \(AN\).
 
3. Треугольник \(MCN\) равнобедренный, так как отрезок \(AC\) является высотой по условию теоремы и медианой по построению (\(AM=AN\)). По той же причине треугольник \(MBN\) тоже равнобедренный.
 
4. Следовательно, треугольники \(MBC\) и \(NBC\) равны по трём сторонам.
5. Из равенства треугольников \(MBC\) и \(NBC\) следует равенство углов \(MBX\) и \(NBX\) и, следовательно, равенство треугольников \(MBX\) и \(NBX\) по двум сторонам и углу между ними.
 
6. Из равенства сторон \(MX\) и \(NX\) этих треугольников заключаем, что треугольник \(MXN\) равнобедренный. Поэтому его медиана \(XA\) является также высотой. А это и значит, что прямая \(x\) перпендикулярна \(a\). По определению прямая \(a\) перпендикулярна плоскости.

Plakne_2taisnes_teorija.png
 
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
 
2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.