Теория:

Одно из определений компланарных векторов гласит:
Векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости, называются компланарными векторами.
Тот же смысл имеет и другое определение:
Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.
Обрати внимание!
Всегда возможно найти плоскость, параллельную двум произвольным векторам, поэтому любые два вектора всегда компланарные.
Eсли из трёх векторов два коллинеарны, то очевидно, что эти три вектора компланарны.
Vektoru_veidi.png
 
Все выше упомянутые случаи легко рассмотреть, если разместить векторы на рёбрах параллелепипеда.
 
1. Любые два вектора находятся в одной плоскости, но в одной плоскости можно разместить и векторы AA1, CC1 и AD, то есть эти векторы компланарны. Также компланарны векторы AA1, AB и CC1, так как два из этих векторов параллельны. Легко представить, что если привести их к общему началу, то вектор CC1 совпадет с вектором AA1.
 
2. Например, векторы AB, AD и AA1 не компланарны, так как их нельзя разместить в одной и той же плоскости.

Признак компланарности трёх векторов:
Пусть векторы a и b не коллинеарны. Если для вектора c существует единственная пара реальных чисел \(x\) и \(y\), такая, чтоc=xa+yb, то векторы a, b и c компланарны.
Справедливо и обратное утверждение:
Если три вектора a, b и c компланарны и векторы a и b не коллинеарны, то вектор c можно разложить по векторам a и b одним единственным образом.
 
Komplanari_vekt.png
 
Если разложить вектор AC по векторам AA1 и AA2,  то это можно сделать одним единственным образом AC=AB+AD=xAA1+yAA2 
 
Закон параллелепипеда
Если три вектора не компланарны, то для их сложения в пространстве применяет закон параллелепипеда.
 
1. Векторы приводят к общему началу \(A\);
Vektoru_sask1.png
 
2. На этих трёх рёбрах строит параллелепипед;
3. Диагональ параллелепипеда, которая выходит из этой же точки, изображает суммы векторов AB, AD и AA1 
Vektoru_sask.png 
 
Разложение вектора по трем не компланарным векторам
Теорема о разложении по базису в пространстве.
Любой вектор d можно разложить по трём данным не компланарным векторам ab и c, причём реальные коэффициенты разложения \(x\), \(y\) и \(z\) определяются единственным образом: AC1=AD+AB+AA1=xAA2+yAA3+zAA4 
Vektoru_izt.png
 
 
Источники:
Л. С. Атанасян; В. Ф. Бутузов; С. Б. Кадомцев; Л. С. Киселева; Э. Г. Позняк "Геометрия 10 - 11 классы" Москва, "Просвещение" 2009
http://www.mathematics.ru/courses/stereometry/content/chapter9/section/paragraph2/theory.html