Теория:

Координаты точки
Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.
 
Koord_sist2.png
 
Оси координат \(Ox\), \(Oy\) и \(Oz\) называются соответственно: \(Ox\) — ось абсцисс, \(Oy\) — ось ординат, \(Oz\) — ось аппликат
Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: \((Oxy)\), \((Oyz)\) и\((Oxz)\).
 
Koord_sist3.png
 
Положение точки \(A\) в пространстве определяется тремя координатами: \(x\), \(y\) и \(z\).
 
Koord_sist1.png
 
Координата \(x\) называется абсциссой точки \(A\), координата \(y\) — ординатой точки \(A\), координата \(z\) — аппликатой точки \(A\).
Записываются так: \(A(x; y; z)\).

Если точка находится на оси \(Ox\), то её координаты \(X(x; 0; 0)\).
Если точка находится на оси \(Oy\), то её координаты \(Y(0; y; 0)\).
Если точка находится на оси \(Oz\), то её координаты \(Z(0; 0; z)\).
 
Если точка находится в плоскости \(Oxy\), то её координаты A1x;y;0.
Если точка находится в плоскости \(Oyz\), то её координаты A20;y;z.
Если точка находится в плоскости \(Oxz\), то её координаты A3x;0;z.
Координаты вектора
Koord_sist_vekt.png
 
Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы i, j и k, то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в видеOA=xi+yj+zk.
Коэффициенты \(x\), \(y\) и \(z\) определяются одним единственным образом и называются координатами вектора.
 
Записываются так: OAx;y;z.
Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:
 
- координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:
ax1;y1;z1, bx2;y2;z2, a+bx1+x2;y1+y2;z1+z2
 
- координаты разности векторов, если даны координаты векторов:
 abx1x2;y1y2;z1z2
 
- координаты произведения вектора на число, если даны координаты вектора:
nanx1;ny1;nz1
 
- длину вектора:
a=x12+y12+z12
Koord_sist4.png
- координаты вектора, если даны координаты начальной и конечной точки вектора:
AxA;yA;zA, BxB;yB;zB, ABxBxA;yByA;zBzA
 
- расстояние между двумя точками, если даны координаты точек:
AB=AB=xBxA2+yByA2+zBzA2
 
- координаты серединной точки отрезка, если даны координаты начальной и конечной точки отрезка:
xC=xA+xB2;yC=yA+yB2;zC=zA+zB2