Теория:

Угол между векторами
Два вектора a и b всегда образуют угол.
Угол между векторами может принимать значения от 0° до 180° включительно.
Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.
 
Векторы могут образовать:
 
1. Острый угол
Lenkis_vekt4.png
 
2. Тупой угол
Lenkis_vekt5.png
 
3. Прямой угол (векторы перпендикулярны)
Lenkis_vekt2.png
 
Если векторы расположены на параллельных прямых, то они могут образовать:
 
4. Угол величиной 0° (векторы сонаправлены)
Lenkis_vekt1.png
 
5. Угол величиной 180° (векторы противоположно направлены)
Lenkis_vekt3.png
 
Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен 0°.
 
Угол между векторами записывают так:
abˆ=α
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
ab=abcosabˆ
Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число, соответственно, их произведение также будет являться числом.
1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число). 
Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен 0°, а косинус равен \(1\), скалярное произведение также будет положительным.
 
2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число). 
Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен 180°. Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен \(-1\).
 
Справедливы и обратные утверждения:
1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.
 
2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.
Особенный третий случай:
Обрати внимание!
3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю, так как косинус прямого угла равен \(0\).
Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.
Вектор, умноженный на самого себя будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора  равен квадрату длины данного вектора и обозначается как a2.
Свойства скалярного произведения
Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1. a20, к тому же a2>0 если a0.
 
2. Переместительный или коммутативный закон скалярного произведения: ab=ba.
 
3. Распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения: a+bc=ac+bc.
 
4. Сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения: kab=kab.
Использование скалярного произведения
Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.
  
Угол между прямыми
 
Ознакомимся с ещё одним определением.
Вектор называют направляющим вектором прямой, если он находится на прямой или параллелен этой прямой.
Taisne_vektors.png
 
Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.
Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.
Если ax1;y1;z1, bx2;y2;z2, то ab=x1x2+y1y2+z1z2.
Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.
Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что cosα=abab, то
cosα=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22.
  
Угол между прямой и плоскостью
  
Введём понятие о нормальном векторе плоскости.
Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.
Plakne_vektors.png
 
Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла β между нормальным вектором n данной плоскости и неким вектором b равен синусу угла α между прямой и плоскостью, так как α и β вместе образуют угол в 90°.
 
Plakne_vektors_lenkis.png
 
При нахождении косинуса угла между n и b можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор b, и плоскостью.