Теория:

Конус — тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.
Konuss.png
 
Треугольник \(POA\) вращается вокруг стороны \(PO\).
\(PO\) — ось конуса и высота конуса.
\(P\) — вершина конуса.
\(PA\) — образующая конуса.
Круг с центром \(O\) — основание конуса.
\(AO\) — радиус основания конуса.
Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось \(PO\) конуса.
Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник.
\(APB\) — осевое сечение конуса.
PAO=PBO — углы между образующими и основанием конуса.
 
Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Длина дуги сектора — это длина окружности основания конуса длиной 2πR, угол развёртки боковой поверхности α.
В конусе нельзя обозначить угол развёртки.
На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.
 
Sanu_vsma.png 
 
Радиус сектора — это образующая конуса.
 
Sanu_vsma1.png
 
Таким образом, боковая поверхность конуса является частью полного круга с радиусом \(l\):
Sбок.=πl2α360°
 
Длина дуги также является частью длины полной окружности с радиусом \(l\), но в то же время длина дуги — это длина окружности основания конуса с радиусом \(R\).
Сравним выражения длины дуги и выразим α через \(R\):
 
2πlα360°=2πRα=2πR360°2πl=R360°l
 
Получаем ещё одну формулу боковой поверхности конуса, не используется угол развёртки боковой поверхности:
 
Sбок.=πl2R360°360°l=πRl
Усечённый конус
Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом.
Nosk_kon1.png
 
Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.
 
Nosk_kon.png
 
OO1 — ось конуса и высота конуса.
AA1 — образующая конуса.
Круги с центрами \(O\) и O1 — основания усечённого конуса.
\(AO\) и A1O1 — радиусы оснований конуса.
Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось OO1 конуса.
Осевое сечение конуса — это равнобедренная трапеция.
AA1B1B — осевое сечение конуса.
 
Боковая поверхность определяется как разность боковой поверхности данного конуса и отсечённого конуса:
 
Sбок.=πRPAπrPA1=πRPA1+AA1πrPA1==πRPA1+πRAA1πrPA1==πRl+πRπrPA1 
 
Так как ΔPAOΔPA1O1, то стороны их пропорциональны:
 
PAPA1=Rrl+PA1PA1=Rrrl+PA1=RPA1rl=RPA1rPA1PA1Rr=rlPA1=rlRr
 
Таким образом получаем формулу боковой поверхности усечённого конуса, которая содержит радиусы оснований и образующую усечённого конуса:
 
Sбок.=πRl+πPA1Rr=πRl+πrlRrRrSбок.=πRl+πrl=πlR+r