Теория:

Sliedes-6.jpg
 
Две прямые лежащие на одной плоскости либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки.
В первом случае говорят, что прямые пересекаются, во втором случае — прямые не пересекаются.
 
Две прямые \(a\) и \(b\) на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаютсяab.
Обрати внимание!
Если рассмотреть прямые, которые не лежат в одной плоскости, то возможна ситуация, что прямые не пересекаются, но они и не параллельны.
Cube.png
 
Один из признаков параллельности прямых в плоскости гласит:
1. Признак. Если две прямые на плоскости перпендикулярные одной и той же прямой, то они параллельны.
Lenku_veidi_perp.png
Этот признак легко доказать, если вспомнить, что к прямой в плоскости с любой точки можно провести только один перпендикуляр.
 
Допустим, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не параллельны, то есть имеют общую точку.
 
Lenku_veidi_perp1.png
Получается противоречие - с одной точки \(H\) к прямой \(c\) проведены два перпендикуляра. Такое невозможно, поэтому две прямые на плоскости перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
 
Для рассмотрения других признаков надо ознакомится с некоторыми видами углов:
1) Вспомним, что нам известны названия и свойства углов, которые образуют две пересекающиеся прямые
Lenku_veidi_teor2.png
 
Вертикальные углы равны:1=3;2=4
Сумма смежных углов1800:1+2=2+3=3+4=4+1=1800
 
2) Если две прямые пересекает третья прямая, то углы называются так:
Lenku_veidi_teor1.png
Накрест лежащие углы 3 и 5;2 и 8
Соответственные углы 1 и 5;4 и 8;2 и 6;3 и 7
Односторонние углы3и8;2и5
Эти углы помогут определить параллельность прямых \(a\) и \(b\). Итак, другой признак параллельности прямых в плоскости гласит:
 
2. Признак. Если при пересечении двух прямых третьей секущей:
накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
сумма односторонних углов равна \(180°\), то прямые параллельны.
Lenku_veidi_paral1.png
 
Докажем этот признак.
 
С начала докажем, если прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\) и накрест лежащие углы равны, то прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
 
Например, если 3=5, тоab.
Lenku_veidi_paral11.png Lenku_veidi_paral11_atb.png
 
1) Отметим точки \(C\) и \(D\), в которых прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\). Через серединную точку \(K\) этого отрезка проведем перпендикуляр \(AB\) к прямой \(a\) .
2) CKA\(=\)DKB как вертикальные углы, 3\(=\)5\(=\)α, \(CK = KD\) - значит ΔCKA\(=\)ΔDKB по признаку о стороне и двум прилежащим к ней углам.
3) Очевидно, если ΔCKA прямоугольный, то и ΔDKB прямоугольный, и \(AB\) перпендикулярен и к прямой \(b\).
4) Согласно первому доказанному признаку прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. 
5) В случае, когда равны соответственные углы, имеем в виду, что вертикальные углы равны и доказываем как в пунктах 1) - 4).
Lenku_veidi_paral13.png Lenku_veidi_paral13_atb.png
 
6) В случае, сумма односторонних углов равна 180°, имеем в виду, что сумма смежных углов тоже равна \(180°\) и используем в доказательстве пункты 1) - 4). 
Lenku_veidi_paral12.png Lenku_veidi_paral12_atb.png
 
3. Признак параллельных прямых действует и как свойство параллельных прямых.
При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:
- накрест лежащие углы равны,
- соответственные углы равны,
- сумма односторонних углов равна \(180°\).
О других свойствах параллельных прямых в следующем пункте теории.