Теория:

Сумма углов треугольника равна \(180°\).
Pierad.png
 
Доказательство.
 
Рассмотрим произвольный треугольник \(KLM\) и докажем, что \(K +\)\(L +\)\(M =\)180°.
 
Проведём через вершину \(L\) прямую \(a\), параллельную стороне \(KM\).
Углы, обозначенные \(1\), являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых \(a\) и \(KM\) секущей \(KL\), а углы, обозначенные \(2\) — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей \(ML\).
 
Очевидно, сумма углов \(1\), \(2\) и \(3\) равна развёрнутому углу с вершиной \(L\), т. е. 
\(1 +\)\(2 +\)\(3 =\) 180°или \(K +\)\(L +\)\(M =\)180°.
 
Теорема доказана.
Следствия из теоремы о сумме углов треугольника
Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
 
Следствие 2.  В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.
 
Следствие 3.  В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.
 
Следствие 4.  В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.
 
Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Arejsl.png
 
Доказательство.
Из равенств \(KML +\)\(BML=\) 180° и \(K +\)\(L +\)\(KML =\)180° получаем, что \(BML =\)\(K +\)\(L\).

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
Как гласит четвёртое следствие из теоремы о сумме углов треугольника, можно выделить три вида треугольников в зависимости от углов.
 
Saurl.png
 
У треугольника \(KLM\) все углы острые.
 
Taisnl.png
 
У треугольника \(KLM\) угол \(K = 90\)°.
У прямоугольного треугольника сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две остальные стороны — катетами.
 
На рисунке \(LN\) — гипотенуза, \(LK\) и \(KN\) — катеты.
 
Platl.png
 
У треугольника \(KLM\) один угол тупой.