Теория:

Перпендикуляр от точки к прямой
Отрезок \(AC\) называется перпендикуляром, проведённым из точки \(A\) прямой \(a\), если прямые \(AC\) и \(a\) перпендикулярны.
Perpendikuls2.png
Точка \(C\) называется основанием перпендикуляра.
От точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. 
Perpendikuls.png  Perpendikuls1.png
Докажем, что от точки \(A\), не лежащей на прямой \(BC\), можно провести перпендикуляр к этой прямой.
 
Допустим, что дан уголABC.
 
Отложим от луча \(BC\) угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне \(BC\)).
Сторона \(BA\) совместится со сторонойBA1.
При этом точка \(A\) наложится на некоторую точку A1.
Следовательно совмещается уголACB сA1CB.
Но углыACB иA1CB \( \)— смежные, значит каждый из них прямой.
 
ПрямаяAA1 перпендикулярна прямой \(BC\), а отрезок \(AC\) является перпендикуляром от точки \(A\) к прямой \(BC\).
Если допустить, что через точку \(A\) можно провести ещё один перпендикуляр к прямой \(BC\), то он бы находился на прямой, пересекающейся сAA1. Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.
Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1. Найти середину стороны;
2. Соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.
Mediana.png
У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.
Все медианы пересекаются в одной точке.
Mediana1.png
Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.
Поэтому, для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1. Построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);
2. Найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3. Соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.
Bisektrise.png
У треугольника три угла и три биссектрисы.
Все биссектрисы пересекаются в одной точке.
Bisektrise1.png
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Поэтому, для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1. Провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);
2. Из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90°) — это и будет высота.
Augstums.png
Также как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Augstums1.png
Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличается. 
Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.
Augstums2.png
Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.
Augstums3.png
 
Обрати внимание!
Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самим коротким отрезком.
Visi.png
Равнобедренный треугольник
Если у треугольника две стороны равны, то такой треугольник называют равнобедренным.
Равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием.
Trijst_vs.png
\(AB = BC\) — боковые стороны , \(AC\) — основание.
Если у треугольника все три стороны равны, то такой треугольник является равносторонним.
Равнобедренный треугольник имеет некоторые свойства, которые не имеют треугольники с разными сторонами.
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
4. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой.
Первое и второе свойство можно доказать, если докажем равенство двух треугольников, которые образуются, когда углу напротив основания провести биссектрису \(BD\).
Vs_trijst_ip.png
Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\) и докажем, чтоΔABD=ΔCBD.
Пусть \(BD\) — биссектриса треугольника \(ABC\).  ΔABD=ΔCBD по первому признаку равенства треугольников (\(AB = BC\) по условию, \(BD\) — общая сторона, ABD=CBD, так как \(BD\) — биссектриса).
 
У равных треугольников равны все соответствующие элементы:
1. A=C — доказано, что прилежащие основанию углы равны.
2. \(AD = DC\) — доказано, что биссектриса является медианой.
3. ADB=CDB — так как смежные углы, сумма которых180°, равны, то каждый из них равен90°, то есть медиана является высотой.
 
Vs_trijst_ip1.png
Можно очень легко самостоятельно доказать и третье и четвёртое свойство.