Теория:

Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Pazime2.png
MN=PRN=RM=P
Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?

1. Так какMN=PR, то эти отрезки совмещаются, если совместить их конечные точки.
2. Так какN=R иM=P, то лучи \(MK\) и \(NK\) наложатся соответственно на лучи \(PT\) и \(RT\).
3. Если совпадают лучи, то совпадают точки их пересечения \(K\) и \(T\).
4. Совмещены все вершины треугольников, то есть ΔMNK и ΔPRT полностью совместятся, значит они равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Pazime3.png
MN=PRKN=TRMK=PT
 
Опять попробуем совместить треугольникиΔMNK и ΔPRTналожением и убедится, что соответственно равные стороны гарантирует и равенство соответственных углов этих треугольников и они полностью совпадут.
Pazime3_pierad.png
Совместим, например, одинаковые отрезки \(MK\) и\(PT\). Допустим, что точки \(N\) и \(R\) при этом не совмещаются.

Пусть \(O\) — середина отрезка \(NR\). Соответственно данной информацииMN=PR, KN=TR. Треугольники \(MNR\) и \(KNR\) равнобедренные с общим основанием \(NR\). Поэтому их медианы \(MO\) и \(KO\) являются высотами, значит перпендикулярны \(NR\). Прямые \(MO\) и \(KO\) не совпадают, так как точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежат на одной прямой. Но через точку \(O\) прямой \(NR\) можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.
Доказано, что должны совместиться и вершины \(N\) и \(R\).
  
Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник — жёсткая фигура. Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.
 
T1.jpg  T2.jpg T3.jpg
 
Но своеобразную устойчивость, стабильность и совершенство числа \(3\) люди оценивали и выделяли давно.
 
Об этом говорят сказки.
Там мы встречаем «Три медведя», «Три ветра», «Три поросенка», «Три товарища», «Три брата», «Три счастливца», «Трое умельцев», «Три царевича», «Три друга», «Три богатыря» и др.
 
Там даются «три попытки», «три совета», «три указания», «три встречи», исполняются «три желания», нужно потерпеть «три дня», «три ночи», «три года», пройти через «три государства», «три подземных царства», выдержать «три испытания», проплыть через «три моря».
 
T5.jpg 
И в заключение ещё раз вспомним все признаки равенства треугольников
 
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.