Теория:

Теорема 1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.
 
Теорема 2. ( обратная).Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.
Bisektrise.png
Теорема 3. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.
 
Теорема 4. (обратная) Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Vidusperpendikuls.png
Первая замечательная точка треугольника — точка пересечения биссектрис
Теорема 5. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Trijst_bisektrises.png
 
\(AN\), \(BM\) — биссектрисы, \(O\) — точка их пересечения.
Является ли биссектрисой \(CK\)? Если точка \(O\) равноудалена от сторон \(AB\) и \(AC\) и от сторон \(BA\) и \(BC\), то она лежит на биссектрисе угла C, так как равноудалена от сторон угла.
Эта точка и есть центр вписанной в треугольник окружности, всегда находится в треугольнике.
Вторая замечательная точка треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника
Теорема 6. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
 Trijst_vidusp.png
 
Допустим, точка \(O\) — точка пересечения двух серединных перпендикулярах сторон \(AB\) и \(BC\). Она равноудалена от точек \(A\) и \(B\), и от точек \(B\) и \(C\). Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре стороны \(AC\), так как равноудалена от её конечных точек.
Эта точка и есть центр описанной около треугольника окружности, находится в треугольниках с острыми углами, вне треугольника с тупым углом и на гипотенузе прямоугольного треугольника.
Третья замечательная точка треугольника — точка пересечения медиан
Теорема 7. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Mediana1.png
 
Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.
Четвёртая замечательная точка треугольника — точка пересечения высот треугольника
Теорема 8. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Augstums1.png Augstums3.png
 
Точку пересечения высот называется ортоцентром треугольника.
 
В 1765 году немецкий математик Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названой позже прямой Эйлера.
 
Eilera_taisne.png
 
В двадцатых годах XIX века французские математики Понселе, Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.
 
Eilera_taisne_rl.png