Теория:

Окружность, описанная около треугольника
Окружность называют описанной около треугольника, если все вершины треугольника расположены на окружности.
Её центр равноудалён от всех вершин, то есть должен находиться в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Следовательно, около любого треугольника можно описать окружность, так как серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке.
 
Trijst_vidusp_01.png
 
Для остроугольного треугольника центр окружности находится в треугольнике.
 
Другая ситуация с прямоугольным и тупоугольным треугольниками.
 
Trijst_vidusp21.png              Trijst_vidusp11.png
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность называют вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности.
Её центр равноудалён от всех сторон, то есть должен находится в точке пересечения биссектрис треугольника.
 
Следовательно, в любой треугольник можно вписать окружность, так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
 
Trijst_bisektrises_01.png
 
Так как биссектрисы углов треугольника всегда пересекаются внутри треугольника, то для всех треугольников центр вписанной окружности находится в треугольниках.
Формулы
Равносторонний треугольник
Обрати внимание!
У равностороннего треугольника совпадают биссектрисы, медианы и высоты, то есть, эти отрезки являются также серединными перпендикулярами. Это значит, что центры описанной и вписанной окружности совпадают.
Радиус описанной окружности
 
R=23h, поэтому R=a33.
 
Радиус вписанной окружности
 
r=13h, где \(h\) — высота треугольника.
Если дана сторона треугольника \(a\), то h=a32.
Поэтому r=a36
 
Прямоугольный треугольник
 
Радиус описанной окружности
 
R=12c, где \(c\) — гипотенуза.
 
Радиус вписанной окружности
 
r=SΔp, где \(p\) — полупериметр.
 
Произвольный треугольник
 
Радиус описанной окружности
 
R=abc4SΔ
R=a2sinα, где α — угол, противолежащий стороне \(a\).
 
еслиSΔ=abc4R,тоR=abc4SΔ;еслиSΔ=pr,тоr=SΔp
 
Радиус вписанной окружности
 
r=SΔp, где \(p\) — полупериметр.