Теория:

Площадь параллелограмма
Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.
 
Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводит из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.
 
Высота \(BE\), проведённая между длинными сторонами, короче высоты \(BF\), проведённой между короткими сторонами.
 
Pgrama_augst.png
 
Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы \(BE = BF\).
 
Romba_augst.png 
Площадь произвольного параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.
Pgrama_lauk1.png
 
Проведём высоты из двух вершин \(B\) и \(C\) к стороне \(AD\) .
 
Прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).
 
Параллелограмм \(ABCD\) и прямоугольник \(EBCF\) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:
 
SABCD=SABE+SEBCDSEBCF=SEBCD+SDCF
 
Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:
 
SEBCF=BEBCSABCD=BEBC=BEAD
 
Если обозначить сторону через \(a\), высоту через \(h\), то:
 
Sпгр=ah
 
Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.
Площадь ромба
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
 
Romba_lauk.png
 
SABCD=4SABO=4BOAO2=2BOAO
 
Формула определения площади ромба:
 
Sромба=d1d22
 
Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.
 
Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:
 
Sквадрата=d22
Площадь произвольного треугольника
Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.
 
Trijst_lauk1.png
 
 
Sтреуг=aha2, где \(h\) — высота (на рисунке — \(BE\)), проведённая к стороне \(a\) (на рисунке — \(AD\)).
 
Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.
 
Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.
 
SΔ=ppapbpcp=a+b+c2
 
— формула Герона, где \(a, b\) и \(c\) — стороны треугольника, \(p\) — полупериметр треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника
Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:
 
S=ab2, где \(a\) и \(b\) — катеты.
 
Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.
Пример:
1. Вычислим площадь треугольника со сторонами \(17\) см, \(39\) см, \(44\) см.
 
Решение:
 
p=17+39+442=50SΔ=50501750395044=5033116==2523111123=52311=330см2
 
Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители: aa=a
Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.
Пример:
2. Вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны \(15\) см, \(13\) см, \(4\) см.
 
Решение:
Используем две формулы вычисления площади:  SΔ=aha2 и SΔ=ppapbpc
 
Меньшая высота в треугольнике та, которая проведена к большей стороне, поэтому \(a =\)\(15\) см.
 
SΔ=ppapbpc=161312=24см2

Составляем уравнение:
                        
15h2=24215h=48h=4815=3,2(см)
Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.
Пример:
3. Дан параллелограмм со сторонами \(17\) см и \(39\) см, длина диагонали равна \(44\) см. Вычислим площадь параллелограмма.  
 
Решение:
 
Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:
 
Sпараллелограмма=2SΔ=2330=660(см2)
Площадь трапеции
Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.
 
Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.
 
Trapeces_augst.png
 
Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.
 
Trapeces_lauk.png
 
SABCD=SABD+SDBCSABCD=ADBE2+BCDF2=ADBE2+BCBE2==AD+BCBE2
 
Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через \(a\) и \(b\), высоту через \(h\), то:
 
Sтрап=a+b2h
Обрати внимание!
Важные следствия:
 
1. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.
 
2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.
 
3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.