Теория:

Пифагор (570 – 490 года до н.э.) – древнегреческий математик, мыслитель и философ.

Pitagors.jpg
 
Факты биографии Пифагора не известны достоверно. О его жизненном пути можно судить лишь из произведений других древнегреческих философов. По их мнению, математик Пифагор общался с известнейшими мудрецами, учеными того времени.
Известно, что долгое время Пифагор пробыл в Египте, изучая местные таинства. 
Философия Пифагора, его образ жизни привлекли многих последователей, но у философа и ученого было и много противников.
Как математик Пифагор достиг больших успехов.Одна из самых известных геометрических теорем — теорема Пифагора, ему приписывают открытие и доказательство теоремы, создание таблицы Пифагора.
 
Pitagors1.gif
 
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
В истории математики находим утверждения, что эту теорему знали за много лет до Пифагора, например, древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами \(3\), \(4\) и \(5\) является прямоугольным.
 
В наше время теорема звучит так (подразумевая не только площади, но и длины сторон прямоугольного треугольника):
 
Taisnl2.png
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c2=a2+b2.
Известны очень многие доказательства теоремы с разными математическими методами, но одни из самых наглядных связаны с площадями.
 
1. Построим квадрат, сторона которого равна сумме катетов данного треугольника a+b.  Площадь квадрата равна a+b2:
 
Taisnl3.png
 
2. Если провести гипотенузы \(c\), очевидно, что они образовали квадрат внутри построенного квадрата.
Стороны четырёхугольника равны \(c\), а углы — прямые, так как острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°, то угол четырёхугольника также равен 90°, потому что вместе все три угла дают 180°.
Следовательно, площадь квадрата состоит из четырёх площадей равных прямоугольных треугольников и площади квадрата, образованного гипотенузами:
 
Taisnl4.png
 
3. На двух сторонах квадрата поменяем местами отрезки \(a\) и \(b\), при этом длина стороны квадрата не меняется.
Теперь площадь квадрата можем сложить из двух площадей квадратов, образованных катетами \(a\) и \(b\) и двух площадей прямоугольников:
 
Taisnl5.png
 
4. Из этого следуют выводы:
 
4ab2=2ab и c2=a2+b2, что и является одним из доказательств теоремы Пифагора.
Обрати внимание!
Если находим длину гипотенузы \(c\), то выполняем сложение квадратов длин катетов \(a\) и \(b\) и определяем квадратный корень:
 
c2=a2+b2c=a2+b2
  
Если находим длину одного катета, то выполняем вычитание длины квадрата другого катета из квадрата длины гипотенузы и определяем квадратный корень:
 
a2=c2b2a=c2b2
Обратная теорема используется как признак прямоугольного треугольника.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.
Пример:
Является ли треугольник со сторонами \(6\) см, \(7\) см и \(9\) см прямоугольным?
Выбираем большую сторону и проверяем, выполняется ли теорема Пифагора:
 
92=62+72;8136+49, значит, этот треугольник не прямоугольный.
  
Является ли треугольник со сторонами \(5\) см, \(12\) см и \(13\) см прямоугольным?
Выбираем большую сторону и проверяем, выполняется ли теорема Пифагора:
 
132=122+52;169=144+25, значит, этот треугольник прямоугольный.
Чтобы не тратить много времени на решение, полезно запомнить наиболее часто используемые числа Пифагора:
катет, катет, гипотенуза
 
\(3;  4;  5          6;  8;  10            12;   16;  20           5;  12;  13.\)  
Посмотри ещё одно своеобразное доказательство теоремы Пифагора:
 
Pitagora_3.gif
Источники:
http://linguaggio-macchina.blogspot.com