Теория:

Подобие
Matrjoska1.jpg
 
Подобными фигурами могут быть не только треугольники.
Если изменить (увеличить или уменьшить) все размеры любой плоской фигуры в одно и то же число раз (отношение подобия), то старая и новая фигуры называются подобными при условии, что в двух подобных фигурах любые соответственные углы равны.

Также два тела могут быть подобны, если одно из них может быть получено из другого путём увеличения (или уменьшения) всех его линейных размеров в одном и том же отношении.
 
Например, картина и её фотография — это подобные фигуры. Карты одной и той же территории, сделанные в разных масштабах, подобны.
 
Автомобиль и его модель — подобные тела, также любой макет подобен оригиналу, если сделан соблюдая масштаб ко всем размерам.
 
Из геометрических фигур всегда подобны:
все квадраты,
все равносторонние треугольники,
все круги,
все окружности.
 
В зданиях школьного курса геометрии всё-таки чаще будут использованы подобные треугольники. Далее рассмотрим, как в разных ситуациях образуются подобные треугольники или как их использовать для решения проблем.
Средняя линия треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией этого треугольника.
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Vidusl.png
 
EFACEF=AC2
 
В каждом треугольнике три средних линии.
 
Vidusl2.png
 
Средние линии \(DE\), \(EF\), \(DF\).
Обрати внимание!
Данный треугольник \(ABC\) и треугольник \(FDE\), образованный средними линиями, подобны по признаку подобия о трёх пропорциональных сторонах.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Taisnl_prop.png
 
Если в прямоугольном треугольнике провести высоту к гипотенузе, получаем три пары прямоугольных треугольников по признаку подобия о равных углах, так как BAC+ACB=90° и CBD+DBA=90°, следовательно, BAC=CBD,ACB=DBA.
 
ΔABCΔADB,ΔABCΔBDC,ΔADBΔBDC
 
ABAD=ACAB=BCDBABBD=ACBC=BCDCADBD=ABBC=DBDC                                                    
 
ABAD=ACABAB2=ACADAB=ACADACBC=BCDCBC2=ACDCBC=ACDCADBD=DBDC=BD2=ADDCBD=ADDC
 
Практические приложения подобия треугольников
1. Определение высоты трудно измеряемого предмета.
 
Lidziba_daba2.png
 
С помощью шеста \(AC\) с вращающейся планкой, которая направляется к верхней недоступной точке A1, рассматриваются подобные треугольники \(ABC\) и A1BC1.
 
2. Определение расстояния до недоступной точки.
 
Lidziba_daba1.png
 
Измеряется отрезок \(AC\), с помощью необходимых инструментов измеряются углы \(A\) и \(C\), строится подобный треугольник A1B1C1, в котором проводятся дальнейшие измерения.