Теория:

Гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) — это преобразование, в котором каждая точка \(P\) отображается такой точкой P1,чтоOP1=kOP,гдеk0
Гомотетия — это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).
Для гомотетичных фигур F и F1 в силе формулы отношения периметров PF1PF=k и площадей SF1SF=k2 подобных фигур .
  
Интересно: любые две окружности гомотетичны.
Чтобы гомотетия была определена, должен быть задан центр гомотетии и коэффициент. Это можно записать: гомотетия \((O; k)\).
На рисунке из фигуры F можно получить фигуру F1 гомотетией \((O; 2)\).
 
Homot_1.png 
 
Если фигуры находятся на противоположных направлениях от центра гомотетии, то коэффициент отрицательный.
На следующем рисунке из фигуры F можно получить фигуру F1 гомотетией \((O; - 2)\).
 
Homot_2.png
 
Центр гомотетии может находиться и внутри фигуры. Серый треугольник из зелёного треугольника \(ABC\) получен гомотетией O;12.
 
Homot_3.png
 
Гомотетия \((O; -1)\) — это центральная симметрия или поворот на \(180\) градусов, в данном случае фигуры одинаковые.
 
Simetrija_c.png
 
В отличие от гомотетии, геометрические преобразования — центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, параллельный перенос являются движением, т.к. в них фигура отображается в фигуру, равную данной.
 
Гомотетичные фигуры подобны, но подобные фигуры не всегда гомотетичны (в гомотетии важно расположение фигур).
В орнаментах (на рисунке фракталы) можно видеть бесконечное множество подобных фигур, но обычно они не гомотетичны, т.к. у них невозможно определить центр гомотетии.
 
fraktāļi.png