Теория:

Вспомним, что при умножении вектора на число k0 мы получаем два коллинеарных (параллельных) вектора, которые или сонаправлены, еслиk>0, или противоположно направлены, если k<0. Длины векторов отличаются \(k\) раз.
Reiz1.png
Справедливо и обратное суждение.
Если ненулевые векторы коллинеарны, то обязательно можно найти число k0 так, что b=ka.
Для неколлинеарных векторов справедливо суждение, что каждый вектор на плоскости можно представить в виде c=ka+mb. Говорят, что вектор c разложен по векторам a и b, а числа \(k\) и \(m\) называют коэффициентами разложения.
Это справедливо для любого вектора на плоскости, причем коэффициенты определяются единственным образом.
Izteikšana1.png
Выберем два не коллинеарных вектора на осях системы координат. Пусть длина каждого из них будет равна единичному отрезку в этой системе координат. Эти векторы называют координатными векторами и обозначают i и j.
 
Koord_vektori_teor.png
 
Если от начала координат отложить вектор a, то его можно разложить по векторам i и j следующим образом a=3i+2j.
В этом разложении коэффициенты координатных векторов называют координатами вектора a.
Это записывают как a3;2.
 
Любой вектор, который равен с вектором a можно переместить и отложить от начала координат. Следовательно, можем сделать вывод.
Равные векторы имеют равные координаты.
Но в то же время в координатной системе можно переместить векторы i и j, таким образом определить координаты векторов независимо от их места расположения в координатной системе.
 
Легко понять, что разница между абсциссами (координатами x) конечной и начальной точки вектора и есть абсцисса вектора, а разница между ординатами (координатами y) конечной и начальной точки вектора есть ордината вектора.
 
Связь между координатами противоположных векторов следует из того, что, если умножить вектор на \(-1\), результатом будет противоположный вектор .
У противоположных векторов противоположные координаты.
Важно понять ещё несколько интересных связей между координатами векторов одинаковой длины.
 
Vektori_teor_preteji.png