Теория:

Уравнение окружности
Используем два уже известных факта и выведем уравнение окружности:
1. Все точки окружности находятся в данном расстоянии (радиус) от данной точки (центр);
 
2. Мы имеем формулу для расчёта расстояния между двумя точками, если знаем координаты точек AB=xAxB2+yAyB2, а если так, то квадрат расстояния AB2=xAxB2+yAyB2.
Rl_vdj.png
 
Допустим, что центр окружности находится в точке CxC;yC, а радиус окружности равен \(R\).
Любая точка Px;y на этой окружности находится на расстоянии \(R\) от центра \(C\), значит справедливо равенство
xxC2+yyC2=R2.
Это и есть уравнение окружности с центром \(C\) и радиусом \(R\). Координаты всех точек, которые находятся на окружности, удовлетворяют уравнение.
 
Если центр окружности находится в начале координат 0;0, то уравнение имеет вид
x2+y2=R2
Уравнение прямой
Для выведения уравнения прямой проведём эту прямую как серединный перпендикуляр некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.
Известно, что все точки серединного перпендикуляра находятся в равных расстояниях от концов отрезка.
Taisnes_vdj.png
 
Координаты концов отрезкаAxA;yA иBxB;yB. Любая точкаPx;y находится в равных расстояниях от конечных точекPA=PB, конечно равны и квадраты расстоянийPA2=PB2, значит справедливо равенство
 
xxA2+yyA2=xxB2+yyB2, которое и есть уравнение прямой.
 
После возведения выражений в скобках и приведения подобных слагаемых
x22xxA+xA2+y22yyA+yA2==x22xxB+xB2+y22yyB+yB22xxB2xxA+2yyB2yyA+xA2xB2+yA2yB2=02xB2xAx+2yB2yAy+xA2xB2+yA2yB2=0
 
уравнение будет в таком виде:
 
ax+by+c=0a=2xBxAb=2yByAc=xA2xB2+yA2yB2
 
Рассмотрим особые прямые.
 
Taisnes_vert_horz_vdj.png
 
1. Прямая проходит через некоторую точку на оси \(Ox\) с координатамиAxA;0.
Для любой точки на этой прямойx=xA, это и есть уравнение прямой.
Так как ось \(Oy\) проходит через начало координат, то уравнение оси \(Oy\) естьx=0.
2. Прямая проходит через некоторую точку на оси \(Oy\) с координатамиB0;yB.
Для любой точки на этой прямойy=yB, это и есть уравнение прямой.
Так как ось \(Ox\) проходит через начало координат, то уравнение оси \(Ox\) естьy=0.
Источники:
Л.С. Атанасян, Б.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. Геометрия 7 - 9 классы. Москва, "Просвещение", 2010.