Теория:

3D.jpg
 
Часть геометрии, изучаемую до сих пор, называется планиметрией — эта часть была о свойствах плоских геометрических фигур, то есть фигур, целиком расположенных в некоторой плоскости. Но окружающие нас предметы в большинстве не являются плоскими. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства.

Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.
Это слово \(στερεομετρία\) происходит от древнегреческих слов «stereos» — объёмный, пространственный и «metria» — измерение.
Простейшие фигуры стереометрии — точки, прямые и плоскости. Из этих фигур образованы геометрические тела и их поверхности
Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются многогранниками.
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости
 
Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер — вершинами многогранника.
 
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми.
 
Oktaedrs.png

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке выпуклый многогранник — октаэдр. У октаэдра восемь граней, все грани — правильные треугольники.

Ieliekts.png
 
На рисунке — невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Если рассмотреть, например, плоскость треугольника \(EDC\), то, очевидно, часть многоугольника находится по одну сторону, а часть по другую сторону этой плоскости.
 
Для дальнейших определений введём понятие параллельных плоскостей и параллельных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
 
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
 
Прямую называют перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.
Призма
Теперь можем ввести определение призмы.
\(n\)-угольной призмой называют многогранник, составленный из двух равных \(n\)-угольников, лежащих в параллельных плоскостях, и \(n\)-параллелограммов, которые образовались при соединении вершин \(n\)-угольников отрезками параллельных прямых.
Равные \(n\)-угольники называют основаниями призмы.
 
Стороны многоугольников называют рёбрами оснований.
 
Параллелограммы называют боковыми гранями призмы.
 
Параллельные отрезки называют боковыми рёбрами призмы.
 
Призмы бывают прямыми и наклонными.
 
Если основания прямой призмы — правильные многоугольники, то такую призму называют правильной.
 
У прямых призм все боковые грани — прямоугольники. Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.
 
Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют высотой призмы.
 
Psk_slips.png
 
На рисунке наклонная четырёхугольная призма, в которой проведена высота B1E.
В прямой призме каждое из боковых рёбер является высотой призмы.
 
Trijst_pr.png
 
На рисунке прямая треугольная призма. Все боковые грани — прямоугольники, любое боковое ребро можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами.

Reg_cetrst_pr.png
 
На рисунке — правильная четырёхугольная призма. Основания призмы — квадраты. Все диагонали правильной четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
Четырёхугольная призма, основания которой — параллелограммы, называется параллелепипедом.
Выше упомянутую правильную четырёхугольную призму можно также называть прямым параллелепипедом.
 
Если основания прямого параллелепипеда — прямоугольники, то этот параллелепипед — прямоугольный.
  
Psk_taisns_dim_diag.png
 
На рисунке — прямоугольный параллелепипед. Длины трёх рёбер с общей вершиной называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.
 
Например, AB, AD и AA1 можно называть измерениями.
 
Так как треугольники ABC и ACC1 — прямоугольные, то, следовательно, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:
AC12=AB2+AD2+AA12
  
Если через соответственные диагонали оснований провести сечение, то его называют диагональным сечением призмы.
В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками. Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.
 
Reg_sest_pr.png
 
На рисунке — правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разные диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.
Основные формулы для расчётов в прямых призмах
1. Боковая поверхность Sбок.=Pосн.H, где \(H\) — высота призмы. Для наклонных призм площадь каждой боковой грани определяется отдельно.
 
2. Полная поверхность Sполн.=2Sосн.+Sбок.. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.
 
3. Объём V=Sосн.H. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.
Пирамида
\(n\)-угольная пирамида — многогранник, составленный из \(n\)-угольника в основании и \(n\)-треугольников, которые образовались при соединении точки вершины пирамиды со всеми вершинами многоугольника основания.
\(n\)-угольник называют основанием пирамиды.
Треугольники — боковые грани пирамиды.
Общая вершина треугольников — вершина пирамиды.
Рёбра, выходящие из вершины — боковые ребра пирамиды.
Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания называют высотой пирамиды.
 
Visp_piram.png
 
На рисунке шестиугольная пирамида \(GABCDEF\), проведена высота пирамиды \(GH\).
 
Пирамиду, в основании которой правильный многоугольник и высота соединяет вершину пирамиды с центром правильного многоугольника, называют правильной.
 
У правильной пирамиды все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Если провести высоты этих треугольников, то они также будут равны.
 
Высоту боковой грани правильной пирамиды называют апофемой.
 
Reg_cetrst_piram.png
 
На рисунке правильная четырёхугольная пирамида. Высота пирамиды \(KO\) проведена от вершины \(K\) к центру основания \(O\).
 
Высота боковой грани \(KN\) — апофема.
 
Если у правильной треугольной пирамиды все боковые грани — равносторонние треугольники (равные с основанием), то такую пирамиду называют правильным тетраэдром:
ΔABC=ΔABD=ΔACD=ΔBCDп
 
Tetraedrs.png
 
Если у многоугольника в основании есть диагонали, то через эти диагонали и вершину пирамиды можно провести диагональное сечение.
 
Reg_cetrst_piram11.png
 
На рисунке проведено диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды.
Основные формулы для расчётов в правильных пирамидах
1. Боковая поверхность Sбок.=Pосн.h2, где \(h\) — апофема. Для пирамид, которые не являются правильными, необходимо определить отдельно поверхность каждой боковой грани.
 
2. Полная поверхность Sполн.=Sосн.+Sбок.. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.
 
3. Объём V=13Sосн.H, где \(H\) — высота пирамиды. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.