Теория:

Тела-вращения.jpg
Цилиндр
Цилиндр можно получить вращением прямоугольника AA1O1O вокруг одной из его сторон OO1 или прямоугольника AA1B1B вокруг прямой OO1, которая проходит через серединные точки противолежащих сторон.
 
Cilindrs_ax1.png
 
Прямая OO1 называется осью цилиндра, AA1 и BB1 — образующими.
 
Высота \(H\) цилиндра совпадает с любым из отрезков OO1\(=\)AA1\(=\)BB1.
 
Два круга, которые образовались при вращении, называют основаниями цилиндра.
 
Радиусом \(R\)\(=\)\(OA\)\(=\)\(OB\) цилиндра называется радиус его основания.

Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевым сечением цилиндра (прямого кругового цилиндра) является прямоугольник, на данном рисунке — прямоугольникAA1B1B.

Развёртка боковой поверхности цилиндра тоже прямоугольник:

Sanu_vsma1.png
 
Боковая поверхность прямого кругового цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:
Sбок.=2πRH
 
Полная поверхность цилиндра вычисляется по формуле:
S=Sбок.+2Sосн.=2πRH+2πR2
 
Для объёма прямого кругового цилиндра верно:
V=πR2H
Конус
Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника \(POA\) вокруг одного из его катетов \(PO\) или равнобедренного треугольника \(APB\) вокруг прямой \(PO\), проходящей через вершину \(P\) и середину \(O\) основания треугольника.
 
Konuss.png
 
Осью прямого кругового конуса называется прямая \(PO\), содержащая его высоту \(H\).

Осевое сечение конуса, проходящее через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны \(PA\) и \(PB\) являются образующими \(l\) конуса.
 
Радиус конуса \(R\)\(=\)\(OA\)\(=\)\(OB\) — это радиус основания.
 
Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор:
 
Sanu_vsma11.png
 
Радиус этого сектора равен образующей конуса, то есть равен \(l\), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна \(2πr\).
 
Площадь боковой поверхности конуса определяется как площадь данного кругового сектора:
Sбок.=πl2α°360°
 
Если рассмотреть длину окружности основания конуса как длину дуги кругового сектора, получаем:
2πR=2πlα°360°2πR=πlα°180°α°=2πR180°πl=R360°lSбок.=πl2α°360°=πl2R360°360°l=πRl
 
Sбок.=πRl — ещё одна формула для определения боковой поверхности конуса.
 
Полная поверхность конуса:
S=Sбок.+Sосн.=πRl+πR2
 
Объём конуса находим по формуле:
V=13πR2H
Шар и поверхность шара — сфера
Сфера получается при вращении полукруга или круга вокруг его диаметра \(AB\) как оси.

Lode1.png
 
Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.
 
Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра \(O\) на расстояние, равное радиусу \(R\).
  
Любой отрезок, как \(OA\), \(OB\) и \(OC\) или другие, соединяющие центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром, как \(AB\) на рисунке. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом, а сечение сферы — большой окружностью.
Поверхность сферы:
S=4πR2
 
Объём шара:
V=43πR3