Теория:

В системе координат построим полуокружность радиуса \(1\) с центром в начале координат.
 
Vienibas_pusr.png
 
Как уже известно, в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.
 
В треугольнике \(AOX\):
sinα=AXAO;cosα=OXAO
Так как радиус полуокружности \(R = AO = 1\), то sinα=AX;cosα=OX.
Длина отрезка \(AX\) равна величине координаты \(y\) точки \(A\), а длина отрезка \(OX\) равна величине координаты \(x\) точки \(A\):
 Acosα;sinα.
Следовательно, для углов 0°α180° видно, что 1cosα1;0sinα1.
 
В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношеною противолежащего катета к прилежащему катету, а, значит,  
tgα=AXOX=sinαcosα
Используя единичную полуокружность и рассмотренную информацию, определим синус, косинус и тангенс для 0°;90°;180°.
 
sin0°=0;cos0°=1;tg0°=0sin90°=1;cos90°=0;tg90°  не существуетsin180°=0;cos180°=1;tg180°=0
 
Рассмотрим оба острых угла в треугольнике \(AOX\). Если вместе они образуют 90°, то оба выразим через α:
 
Vienibas_pusr2.png
 
Если sinα=AXAO;cosα=OXAO, то sin90°α=OXAO;cos90°α=AXAO.
 
Видим, что справедливы равенства:
cos90°α=sinαsin90°α=cosα
 
Рассмотрим тупой угол, который также выразим через α:
 
Vienibas_pusr1.png
 
Справедливы следующие равенства:
sin180°α=sinαcos180°α=cosα
Эти формулы называются формулами приведения:
 
cos90°α=sinαsin90°α=cosα
 
sin180°α=sinαcos180°α=cosα
Если в треугольнике \(AOX\) применить теорему Пифагора, получаем AX2+OX2=1. Заменив отрезки соответсвенно синусом и косинусом, мы напишем  
Главное тригонометрическое тождество
sin2α+cos2α=1
Это тождество позволяет вычислить величину синуса угла, если дан косинус
(как уже отмечено, синус для углов 0°α180° только 0 или положительный):
 
sin2α+cos2α=1sin2α=1cos2αsinα=1cos2α 
 
или величину косинуса угла, если дан синус:
 
sin2α+cos2α=1cos2α=1sin2αcosα=±1sin2α
 
Для острых углов косинус положительный, а для тупых углов берём отрицательное значение.