Теория:

Количество (\(р\)) различных символов, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления.
Основание показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее в младший или старший разряд.
Набор символов, используемый для обозначения цифр, называется алфавитом.
Так, например, алфавит двоичной системы счисления содержит всего два символа: \(0\) и \(1\), а алфавит шестнадцатеричной системы - \(16\) символов: десять арабских цифр и шесть латинских букв (\(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F\)).
 
Любое число \(N\) в позиционной системе счисления можно представить в следующем виде:
 
Np=±(ak1pk1+ak2pk2+...+a0p0+a1p1+...+ampm)
 
Такой вид записи числа называют развернутой формой записи числа,
 
где \(р\) - основание системы счисления;
ai - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
\(k\) - количество разрядов в целой части числа;
\(m\) - количество разрядов в дробной части числа.
 
Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):
- положительные значения индексов - для целой части числа;
- отрицательные значения индексов - для дробной части числа.
 
Свернутой формой записи числа называется запись в виде:
 
N=(ak1ak2...a1a0,a1a2...am)p
 
Например:
- при \(р = 10\) в записи числа \(2466,67510\) в десятичной системе счисления \(k = 3\), \(m = 3\);
- при \(р = 2\) в записи числа \(1011,112\) в двоичной системе \(k = 3\), \(m = 2\).
 
Свернутой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни, ее называют естественной или цифровой.
 
Основанием позиционной системы счисления может быть любое натуральное число (например, \(5\), \(21\), \(37\)). Во избежание путаницы справа от числа нижним индексом приписывают основание: 1011012, 3678, 3B8A16, 3AO37.
Десятичная система счисления
Основание: \(p = 10\).
Алфавит: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\).
  
Десятичная система счисления наиболее распространенная система счисления в мире. Используется при повседневном счете. Для записи чисел используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
  
Число в десятичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае \(10\)), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Пример:
765,34510=7102+6101+5100+3101+4102+5103
Двоичная система счисления
Основание: \(p = 2\).
Алфавит: \(0, 1\).
 
Двоичную систему счисления широко применяют в вычислительной технике. К ее достоинствам относятся:
- возможность использования наиболее простой элементной базы микроэлектроники - всего с двумя устойчивыми состояниями;
- возможность использования аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
- возможность использования простейших правил арифметики.
 
Основной недостаток двоичной системы - быстрый рост количества разрядов, необходимых для записи чисел. По этой, а также по некоторым другим причинам в вычислительной технике, кроме двоичной, применяются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
 
Число в двоичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае \(2\)), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Пример:
1011,012=123+022+121+120+021+122
Восьмеричная система счисления
Основание: \(p = 8\).
Алфавит: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).
 
Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады (группы по 3 разряда) двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.
 
Число в восьмеричной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае \(8\)), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Пример:
567,128=582+681+780+181+282
Шестнадцатеричная система счисления
Основание: \(p = 16\).
Алфавит: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F\).
 
Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение \(0, 1, ..., 9\). Для записи остальных цифр (\(10, 11, 12, 13, 14\) и \(15\)) обычно используются первые шесть букв латинского алфавита.
 
Шестнадцатеричная система счисления, на сегодняшний день является наиболее популярным средством компактной записи двоичных чисел. Очень широко используется при разработке и проектировании цифровой техники.
 
Число в шестнадцатеричной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае \(16\)), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Пример:
10FC16=1163+0162+F161+C160
Помимо рассмотренных выше позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
- троичная (\(0, 1, 2\));
- пятеричная (\(0, 1, 2, 3, 4\))
- двенадцатеричная (\(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B\))
- тринадцатеричная (\(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C\)).
 
Обрати внимание!
В системах счисления с основанием больше \(10\) для представления чисел после цифр \(0, 1, 2,…, 9\) используют латинские буквы в алфавитном порядке: \(А\) (\(10\)), \(В\) (\(11\)), \(С\) (\(12\)) и т. д.
Источники:
Информатика и ИКТ. 10 класс. Базовый уровень / Под ред. проф. Н. В. Макаровой. - СПб.: Лидер, 2009, стр. 39
Угринович Н. Д. Информатика и ИКТ. Профильный уровень : учебник для 10 класса / Н. Д. Угринович. - 3-е изд. испр. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008, стр. 125-128
Самылкина Н. Н. Информатика : все темы для подготовки к ЕГЭ. (В помощь старшекласснику). М. : Эксмо, 2011, стр. 20-24