Теория:
Симметрия — слово греческого происхождения, как и многие другие слова, которые связаны с математикой. Оно означает соразмерность, наличие определённого порядка, закономерности в расположении частей. Смотря на объекты вокруг, мы не раз восклицаем: «Какая симметрия!»
Люди с давних времён использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре, художестве, строительстве.
Но симметрия широко распространена и в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.
Пока рассмотрим две симметрии на плоскости: относительно точки и прямой.
Центральная симметрия
Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.
Точки и симметричны относительно некоторой точки \(O\), если точка \(O\) является серединой отрезка .
Точка \(O\) называется центром симметрии.
Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
Построим треугольник , симметричный треугольнику \(ABC\), относительно центра (точки) \(O\):
1. Для этого соединим точки \(A\), \(B\), \(C\) с центром \(O\) и продолжим эти отрезки;
2. Измерим отрезки \(AO\), \(BO\), \(CO\)и отложим с другой стороны от точки \(O\), равные им отрезки ;
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник , симметричный данному треугольнику \(ABC\).
2. Измерим отрезки \(AO\), \(BO\), \(CO\)и отложим с другой стороны от точки \(O\), равные им отрезки ;
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник , симметричный данному треугольнику \(ABC\).
Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой этой точки фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией).
Осевая симметрия
Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).
Точки и симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.
Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.
Построим треугольник , симметричный треугольнику \(ABC\) относительно красной прямой:
1. Для этого проведём из вершин треугольника \(ABC\) прямые, перпендикулярные оси симметрии и продолжим их дальше на другой стороне оси.
2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник , симметричный данному треугольнику \(ABC\).
2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник , симметричный данному треугольнику \(ABC\).
Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.
Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры, симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.
Иногда у фигур несколько осей симметрии:
- Для неразвёрнутого угла существует единственная ось симметрии — это биссектриса данного угла.
- Для равнобедренного треугольника есть единственная ось симметрии.
- Для равностороннего треугольника — три оси.
- Для прямоугольника и ромба существуют две оси симметрии.
- Для квадрата — целых четыре.
- Для окружности осей симметрии бесчисленное множество — это каждая прямая, которая проходит через центр этой фигуры.
- Есть фигуры без осей симметрии — это параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.