Теория:

Решим такую задачу:
Пример:
В портовом городе начинаются два туристских теплоходных рейса, один из которых длится \(12\) суток, а второй — \(15\) суток. Вернувшись в порт, теплоходы в тот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли два теплохода по этим маршрутам. Через сколько суток впервые они вновь вместе уйдут в плавание?
Решая задачу, приходим к выводу, что число суток, через которое они вновь вместе уйдут в плавание должно делиться без остатка на \(12\) и на \(15\), т.е. должно быть кратным этим числам.
 
Выпишем числа, кратные \(12\). Получим: \(12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; 120; 132;...\)
Выпишем числа, кратные \(15\). Получим: \(15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120; 135;...\)
Общими кратными чисел \(12\) и \(15\) будут числа: \(60; 120;...\)
Наименьшим из них является число \(60\), т.е. впервые теплоходы вновь вместе уйдут в плавание только через \(60\) суток.
Число \(60\) называют наименьшим общим кратным чисел \(12\) и \(15\).
Наименьшим общим кратным натуральных чисел \(m\) и \(n\) называют наименьшее натуральное число, которое кратно и \(m\), и \(n\).
Наименьшее общее кратное обозначаем \(НОК(m; n)\)
\(НОК(12; 15) = 60\)
 
Нахождение наименьшего общего кратного применяется при выполнении действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
Выполняя эти действия, обычно стараются найти наименьшее из общих кратных знаменателей.
Наименьшее общее кратное нескольких чисел можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел.
Правило нахождения \(НОК\) нескольких чисел:
 
1. Разложить данные числа на простые множители.
2. Выписать все простые числа, которые входят хотя бы в одно из полученных разложений.
3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел.
4. Записать произведение полученных степеней.
Пример:
Имеем,
12=223=22315=35
 
В этих разложениях встречаются числа \(2, 3, 5\)
С наибольшими показателями — это числа 22;31;51.
Поэтому, НОК(12;15)=2235=60
Для любых натуральных чисел \(a\) и \(b\) справедливо равенство:
НОД(a;b)НОК(a;b)=ab
Пример:
Покажем это свойство на конкретном примере:
56=237196=2272НОД(56;196)=227=28НОК(56;196)=2372=392НОДНОК=28392=56196=10976