Теория:

1. Перед суффиксами и -вши в деепричастиях совершенного вида пишется та же гласная, что и перед суффиксом -ть в инфинитиве (или в форме прошедшего времени):
Пример:
заметив - заметить (заметил), обидевшись - обидеться (обиделся), выдержав - выдержать (выдержал), просеявши - просеять (просеял).
2. Не пишется с деепричастиями раздельно:
Пример:
не заметив, не сдержавшись, не торопясь, не спеша,
кроме деепричастий, образованных от глаголов, не употребляющихся без не:
Пример:
невзлюбив - невзлюбить, ненавидя - ненавидеть.
Следует отличать деепричастия не смотря, не взирая, пишущихся с не раздельно, от предлогов несмотря на, невзирая на (со значением уступки), пишущихся с не слитно: 
Пример:
Он быстро идёт, не смотря себе под ноги. - Состязания состоятся, несмотря на плохую погоду.
Источники:
Русский язык. Теория и практика. Учебное пособие. (Сост. Топчий С.) - Минск: Изд-во "Альфа", 1994. - С.202.