Теория:

Не пишется слитно
1. Если слово не употребляется без частицы не:
нельзя, ненастье, ненавистный и т. п.
 
2. С именами существительными, прилагательными, наречиями, если они посредством не образуют новое слово:
неблизко (\(=\) далеко), немало (\(=\) много).
 
3. В отрицательных наречиях:
негде, некуда и т. п.
 
4. В отрицательных и неопределённых местоимениях без предлога:
некто, некий, некого и т. д.
 
5. В глаголах с приставкой недо:
недобрать, недоедать.
  
Обрати внимание!
От глаголов с приставкой недо–, обозначающих несоответствие требуемой норме, необходимо отличать глаголы с приставкой до и частицей не, обозначающие действие, не доведённое до конца.
Ср.: «Ему недоставало счастья». — «Он не доставал до выключателя».
6. С полными причастиями, при которых нет зависимых (пояснительных) слов:
невспаханное поле, невыдуманная история, незаконченное собрание.
Не пишется раздельно
1. С глаголами и деепричастиями:
не смотрит, не глядя.
Исключения: нейдёт, неймёт, неймётся.
Ср.: «Видит око, да зуб неймёт».
 
2. С полными причастиями, если при них есть зависимое (пояснительное) слово:
не выполненное в срок задание, не прочитанная учеником книга.
 
3. С краткими причастиями:
задача не решена, трава не скошена.
 
4. С именами существительными, прилагательными и наречиями на –о, когда есть противопоставление или когда оно подразумевается:
он не солдат, а офицер;
дом не высокий, а низкий;
самолёт летел не высоко, а низко;
платье не дорогое, его можно купить.
  
5. С именами прилагательными и наречиями на –о, если есть пояснительные слова
вовсе, далеко, отнюдь или любые формы, включающие частицу ни:
вовсе не безопасный, далеко не близкий, отнюдь не святой;
нисколько не дорогой, ничем не привлекательный.
 
Обрати внимание!
Если есть пояснительные слова — обстоятельства меры и степени (весьма, крайне, очень и т. п.), — частица не с именами прилагательными и наречиями на –о пишется слитно:
крайне неловкий человек, совершенно неприлично.
6. С числительными, местоимениями, усилительными наречиями:
не трое, не нам, не нужно.
Частица ни пишется слитно
1. В местоимениях без предлогов:
никто, ничто, никому, ничей, никакой
(ср.: ни с кем, ни о чём, ни с чьим и т. д.).
  
2. В наречиях:
никогда, ниоткуда, никуда и т. д.
Ни пишется раздельно
Ни пишется раздельно во всех других случаях:
ни одного человека не было видно;
ни за грош;
ни рыба ни мясо и т. д.
 
Обрати внимание!
Следует различать выражения никто иной; ничто иное; не кто иной, как; не что иное, как.
Ср.: «Никто иной не смог бы повторить этот трюк» (А. Грин);
«Первый был не кто иной, как Михаил Александрович Берлиоз» (М. Булгаков).
Источники:
Гольцова Н. Г., Шамшин И. В., Мищерина М. А. Русский язык. 10–11 классы. Учебник. — М.: 2011. — 448 с.