Теория:

Твёрдый знак
В современном русском языке буква Ъ употребляется только в качестве разделительного знака.
Функцию разделительного знака буква Ъ получает в положении перед гласными е, ё, ю, я:

а) после русских и иноязычных приставок, оканчивающихся на согласную:
подъезд, объединение, изъявить; адъютант, инъекция, конъюнктура;
 
б) после иноязычных морфем, близких к приставкам (контр-, пан-, транс-, фельд-):
контръярус, панъевропейский, фельдъегерь;
 
в) в сложных словах после чисел двух-, трех-, четырёх-:
двухъярусный, трехъязычный, четырехъячеистый.
 
Обрати внимание!
Ъ не пишется:
 — после приставок, оканчивающихся на согласные, перед гласными а, о, у, э: безапелляционный, разохаться, контрудар, сэкономить; 
 — в сложносокращенных словах: иняз, главювелирторг и др.
Мягкий знак
Буква Ь в современном русском языке может употребляться:
 — в качестве разделительного знака;
 — для обозначения мягкости предшествующего согласного;
 — для обозначения грамматической формы.
 
1. Разделительный Ь пишется:

а) в корнях, суффиксах и окончаниях перед буквами е, ё, ю, я, и в русских, и иноязычных словах:
вьюга, обезьяна, лисьи, шерстью, зверьё, интерьер, терьер;
 
б) в некоторых иноязычных словах перед буквой о:
почтальон, бульон, шампиньон и др.
  
Обрати внимание!
Разделительный Ь никогда не пишется после приставок.
2. Буква Ь пишется для обозначения мягкости всех согласных, кроме ч, ш:
 
а) в конце слова:
прорубь, сталь, дубль;
 
б) в середине слова перед твердым согласным:
молотьба, нянька;
 
в) в середине слова между мягкими согласными, если при изменении слова второй мягкий согласный становится твердым:
коньки — коньков, возьми — возьму;
  
Обрати внимание!
Буква Ь не пишется между двумя буквами л:
аллея, интеллект;
а также между согласными нн, нч, нщ, рщ, рч, чк, чн, щн:
ранний, венчик, банщик, сварщик, верчу, печка, прочный, помощник.
3. Буква Ь пишется в следующих грамматических формах:
 
а) в им. и вин. п. существительных женского рода на шипящие согласные:
мышь, ночь, рожь, мощь (ср.: м. р. — плач, шалаш, нож);

б) в тв. п. мн. ч. некоторых существительных и числительных:
детьми, людьми, четырьмя, пятью, семью, девятью,
а также во всех падежах числительного восемь:
восьми, восемью;

в) на конце числительных от пяти до тридцати:
пять, двенадцать, тридцать и др.,
в середине числительных, обозначающих десятки от пятидесяти до восьмидесяти и сотни от пятисот до девятисот:
пятьдесят — восемьдесят, пятьсот — девятьсот;
 
г) в глагольной форме инфинитива:
увлечь, писать, бороться (ср. наст. вр. — борется);
в окончаниях 2-го л. ед. ч.:
глядишь, моешься;
в повел, накл: гладь — гладьте, спрячь — спрячьте;
 
Исключение: форма повел, накл. глагола лечь: ляг — лягте.
 
д) в наречиях, оканчивающихся на шипящие:
навзничь, наотмашь, лишь, сплошь, настежь и др.;
 
Исключения: уж, замуж, невтерпеж.
 
е) в прилагательных, образованных от названий месяцев:
сентябрьский, октябрьский, ноябрьский, декабрьский, февральский, апрельский, июньский, июльский, а также в слове день-деньской.
 
Исключение: январский
Источники:
Гольцова Н.Г., Шамшин И.В., Мищерина М.А. Русский язык. 10-11 классы. Учебник. - М.: 2011.