Алгебра: инструкция по применению

С математикой у многих возникают сложности, а уж когда она превращается в алгебру, то проблем становится ещё больше. Мы подготовили чек-лист ключевых тем, на которые надо обратить особое внимание, чтобы не отстать к старшим классам.

Это даже не темы, а скорее конкретные навыки, при наличии которых у ребёнка не возникнет больших сложностей с алгеброй — по крайней мере на базовом уровне. Далеко не всем в жизни потребуется серьёзная математика, но экзамен придётся сдавать каждому. И чтобы его не провалить, нужно научиться делать пять важных вещей.

Раскрывать скобки

На простейшем уровне этот навык закладывается ещё в начальной школе. Сначала действие в скобках, потом всё остальное. Однако в средней школе скобки становятся сложными и коварными. В скобки помещают отдельные слагаемые или множители, перед ними появляются минусы и коэффициенты, а самих слагаемых может быть 5–7. Всё это чтобы запутать ученика и поймать на невнимательности. В скобках нет ничего трудного, если подходить к ним без спешки и внимательно, делать всё по шагам. 
Важных правил не так много. Во-первых, если перед скобками стоит знак «−», это означает, что после раскрытия все слагаемые внутри сменят знаки на противоположные. Во-вторых, если есть степень, то возведение в неё производится в первую очередь, а уж затем раскрываются скобки. В-третьих, сперва мы производим умножение и деление, а уже после этого раскрываем скобки. Разберём на примере:

Картинка

  1. Возведём в степень скобку:


     
  2. Выполним умножение:


     
  3. Сменим знаки, где это необходимо:


     
  4. Теперь все скобки раскрыты, остаётся посчитать:


     

Оперировать буквенными выражениями

Кажется, что выражение из предыдущего пункта гораздо проще посчитать так: 

о это только до тех пор, пока в дело не вмешались буквы. Из плюсов: считать с буквами обычно приходится проще и меньше. Из минусов: надо больше думать.
Здесь надо понять, что под буквами скрываются те же числа, но с той разницей, что они имеют не конкретное значение (1, 2 или 3), а могут принимать разные. Скажем, в выражении (a+b)=(c+d) можно подставить вместо a, b, c и d бесконечное количество чисел, и равенство всё равно будет выполняться, потому что и (5+7) = (6+6), и (12+345) = (360+(-3)).
В остальном работают те же законы: от перемены мест слагаемых сумма не меняется, от перемены мест множителей произведение не меняется, произведение суммы нескольких слагаемых на другое число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число и т. д. Решим тот же пример с буквами, но без степеней.

  1. Выполним умножение:


     
  2. Сменим знаки, где это необходимо:


     
  3. Теперь все скобки раскрыты, остаётся посчитать:


     

Помнить о степенях

Степень — просто более короткий и простой способ умножить число само на себя несколько раз:

a – основание степени; n – показатель степени.
Мы разберём только самый простой тип степеней — степени с натуральным показателем, то есть такие, где n = 2, 3, 4, 5 и т. п. Здесь правил больше, но и их запомнить не так сложно:

  1. любое число в степени 1 равно самому себе.
  2. Любое число в степени 0 равно 1.
  3. При умножении или делении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются или вычитаются, а основание остаётся без изменений:




     
  4. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание остаётся без изменений:


     

Как и в случае с раскрытием скобок, здесь самое главное — не спешить и не волноваться. Разберём на примере:

  1. Сперва посчитаем числитель, используя свойство умножения степеней и возведения степени в степень:




     
  2. Вычислим знаменатель, вновь воспользовавшись свойством умножения степеней:


     
  3. Избавимся от дроби на основе свойства деления степеней:


     

Решать уравнения

Кроме буквенных выражений с переменными есть буквенные выражения с неизвестными — уравнения. Это одна из сквозных тем, которая последовательно усложняется, начиная с начальных классов и заканчивая выпускными. Здесь важно усвоить последовательность действий при решении простейших линейных уравнений.

  1. Сначала переносим на одну сторону от знака равенства слагаемые, содержащие переменную, а на другую — числа, не забывая при переносе менять знаки на противоположные. 
  2. Затем приводим подобные слагаемые в обеих частях уравнения. 
  3. Наконец, делим число в правой части уравнения на коэффициент при переменной.

Дальше появится второе неизвестное и система из двух линейных уравнений, где нужно будет найти пару значений, которые являются решением одновременно для двух уравнений. Затем квадратные, рациональные и иррациональные уравнения, но при всех надстройках и усложнениях в конечном счёте суть будет сводиться к поиску неизвестного. 

Важно прочно освоить базу и при добавлении каждого нового элемента освежать и расширять знания на практике. Самый надёжный способ сделать это — просто решать много уравнений, чтобы алгоритм действий отложился в голове надолго. Вам помогут тренажёры «ЯКласс» по этой теме как в формате отдельных заданий по разным аспектам темы, так и в форме теста.

Работать с математическими моделями

Математические модели описывают реальные ситуации и задачи на математическом языке, и чем больше факторов нам нужно учесть, тем полезнее использовать модель вместо ручного счёта. Модель можно задать словами, но чаще требуется представить её графически или алгебраически — в виде уравнения или неравенства, либо их системы. Способ представления модели зависит от исходных данных. Например, данные за сутки о температуре в каждый конкретный час удобно изобразить на графике, а для задач с несколькими условиями потребуются уравнения. 

Например, нам нужно определить, какие конфеты наиболее выгодно включить в подарок к Новому году. Здесь потребуется учитывать цену и вес каждой конфеты (скажем, «Милки Вэй» стоит 700 рублей/кг, а «Сникерс» — 650, но при этом одна конфета милки-вей весит вдвое меньше, и дешевле в пересчёте за штуку получится именно милки-вей), ограничение по минимальному ассортименту (должно быть, скажем, не менее 10 разновидностей — мы не станем дарить полкило ирисок и ничего более), ограничение по общему бюджету (например, надо уложиться в 2000 рублей), ограничение по весу подарка (скажем, не менее 0,7 кг).

Здесь не обойтись без составления модели. Выглядит долго и сложно, но у моделей есть одно очень важное достоинство: составив хорошую математическую модель однажды, мы можем затем бесконечное количество раз комбинировать условия и сравнивать разные варианты, выбирая наилучший. Умение работать с серьёзными математическими моделями — навык, который высоко оценивается на рынке труда. Будь то финансовый сектор, продажи или производство — математические модели нужны везде. В школе моделирование даётся только на базовом уровне, но это хороший способ проверить, насколько ученику вообще интересно моделировать. Для пробуждения интереса надо придумывать или искать задачи, которые актуальны именно для вашего ребёнка.

опубликовано: