1. Обратная функция

Теория:

Функцию \(y=f(x)\), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества \(X\) (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).
Теорема 1
Если функция \(y=f(x)\), x∈X монотонна на множестве \(X\), то она обратима.
Пусть \(y=f(x)\), x∈X — обратимая функция, и E(f)=Y. Поставим в соответствие каждому \(y\) из \(Y\) единственное значение \(x\), при котором f(x)=y (т. е. единственный корень уравнения f(x)=y относительно переменной \(x\)). Тогда получим функцию, которая определена на \(Y\), а \(X\) — область её значений. Эту функцию обозначают x=f−1(y),y∈Y и называют обратной по отношению к функции \(y=f(x)\), x∈X.
Теорема 2
Если функция \(y=f(x)\) возрастает (убывает) на множестве \(X\), а \(Y\) — область значений функции, то обратная функция x=f−1(y),y∈Y возрастает (убывает) на множестве \(Y\).
 
Теорема 3
Точки \(M(a; b)\) и \(P(b; a)\) симметричны относительно прямой \(y=x\).
Нахождение формулы для функции, обратной данной
Пользуясь формулой \(y = f(x)\), следует выразить \(x\) через \(y\), а в полученной формуле \(x = g(y)\) заменить \(x\) на \(y\), а \(y\) на \(x\).
Пример:
дана функция y=x2,x∈0;+∞). Найти обратную функцию.
Заданная функция возрастает на промежутке 0;+∞), значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения y=x2 находим: x=y или x=−y. Промежутку 0;+∞) принадлежат лишь значения функции x=y. Это и есть обратная функция, которая определена на промежутке 0;+∞).
Поменяв местами \(x\) и \(y\), получим: y=x,x∈0;+∞). График этой функции получается из графика функции y=x2,x∈0;+∞) с помощью симметрии относительно прямой \(y=x\).
obratnaja.png
 
Вернуться в тему
Следующее задание
Copyright © 2021 ООО ЯКласс Контакты Пользовательское соглашение