Теория:
Функцию \(y=f(x)\), называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества \(X\) (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).
Теорема 1
Если функция \(y=f(x)\), монотонна на множестве \(X\), то она обратима.
Пусть \(y=f(x)\), — обратимая функция, и . Поставим в соответствие каждому \(y\) из \(Y\) единственное значение \(x\), при котором (т. е. единственный корень уравнения относительно переменной \(x\)). Тогда получим функцию, которая определена на \(Y\), а \(X\) — область её значений. Эту функцию обозначают и называют обратной по отношению к функции \(y=f(x)\), .
Теорема 2
Если функция \(y=f(x)\) возрастает (убывает) на множестве \(X\), а \(Y\) — область значений функции, то обратная функция возрастает (убывает) на множестве \(Y\).
Теорема 3
Точки \(M(a; b)\) и \(P(b; a)\) симметричны относительно прямой \(y=x\).
Нахождение формулы для функции, обратной данной
Пример:
дана функция . Найти обратную функцию.
Заданная функция возрастает на промежутке , значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения находим: или . Промежутку принадлежат лишь значения функции . Это и есть обратная функция, которая определена на промежутке .
Поменяв местами \(x\) и \(y\), получим: . График этой функции получается из графика функции с помощью симметрии относительно прямой \(y=x\).
