Рациональные числа — урок. Алгебра, 10 класс.

Рациональные числа — это числа вида

\frac{m}{n}

, где m — целое число, а n — натуральное число.

Множество рациональных чисел обозначают буквой

ℚ

Это множество включает в себя множество целых чисел

ℤ \subset ℚ

, так как целое число \(m\) можно представить в виде

\frac{m}{1}

.
Итак, можно сказать, что

рациональные числа — это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.

К рациональным числам относятся и десятичные дроби, т. к. они являются частным случаем обыкновенных дробей.

Рациональные числа можно представлять не только в формате

\frac{m}{n}

, но и в другом, который рассмотрен ниже.
Рассмотрим целое число \(7\), обыкновенную дробь

\frac{5}{11}

и десятичную дробь \(4,244\). Целое число \(7\) можно представить в виде бесконечной десятичной дроби \(7,0000...\)

Десятичную дробь \(4,244\) тоже можно представить в виде бесконечной десятичной дроби \(4,244000...\)

Для числа

\frac{5}{11}

применим метод «деления углом»:

\begin{array}{l} \begin{array}{l} 5,0000 \\ \underline{0} \end{array}| \begin{array}{l} \underline{11} \\ 0,4545 ... \end{array} \\ 50 \\ \underline{44} \\ 60 \\ \underline{55} \\ 50 \\ \underline{44} \\ 60 \\ \underline{55} \\ ... \end{array}

Замечаем, что в дробной части полученного частного повторяются одни и те же цифры: \(45, 45, 45\)...

То есть

\frac{5}{11}

\(= 0,454545...\)

Период (повторяющуюся комбинацию цифр после запятой) записывают в круглых скобках: \(0,(45)\).

Такую дробь называют бесконечной десятичной периодической дробью.

Число \(7\) также можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого надо в периоде записать число \(0\):

\(7 = 7,00000... = 7,(0)\).

Аналогичная ситуация с числом \(4,244\):

\(4,244 = 4,244000... =4,244(0)\).

Принято считать, что: \(4,244\) — конечная десятичная дробь, а \(4,244000...\) — бесконечная десятичная дробь.

Всякое рациональное число представимо в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное: всякая бесконечная десятичная периодическая дробь представима в виде обыкновенной дроби.

Пример:

представьте в виде обыкновенной дроби

а) \(1,(47)\); б) \(1,3(47)\).

Решение

а) Обозначим \(x = 1,(47)\), т. е. \(x\) \(=\) \(1,474747...\)
Чтобы запятая сместилась на один период вправо, умножим число \(x\) на \(100\). Получим:

\(100x = 147,474747...\)

Следовательно,

_ \(100x = 147,474747... \)

\( x = 1,474747... \)

_________________________________

\(100x - x = 147,474747... - 1,474747...\)

\(99x = 146\);

\(x=\)

\frac{146}{99}

Итак, \(1,(47) =\)

\frac{146}{99}

\(= 1\)

\frac{47}{99}

б) Введем обозначение: пусть \(x = 1,3(47) = 1,3474747... \);
необходимо получить число, в котором период начинается сразу после запятой. Для этого умножим \(x\) на \(10\): \(10x = 13,474747...\);
чтобы запятая сместилась на один период вправо, умножим число \(10x\) на \(100\):

\(1000x = 1347,474747...\)

Получим:

_\(1000x = 1347,474747...\)

\(10x = 13,474747... \)

__________________________

\( 990x = 1334\);

\(x =\)