Теория:
Рациональные числа — это числа вида , где \(m\) — целое число, а \(n\) — натуральное число.
Выполняется соотношение , поскольку любое число \(m\) можно представить в виде .
Итак, можно сказать, что
Итак, можно сказать, что
рациональные числа — это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.
Любая десятичная дробь как частный случай обыкновенной дроби тоже является рациональным числом.
Рассмотрим целое число \(7\), обыкновенную дробь и десятичную дробь \(4,244\). Целое число \(7\) можно записать в виде бесконечной десятичной дроби \(7,0000...\)
Десятичную дробь \(4,244\) тоже можно записать в виде бесконечной десятичной дроби \(4,244000...\)
Для числа воспользуемся методом «деления углом»:

Как видите, после запятой происходит повторение одной и той же группы цифр: \(45, 45, 45\)... Таким образом, \(= 0,454545...\)
Короче это записывают так: \(0,(45)\).
Повторяющуюся группу цифр после запятой называют периодом, а саму десятичную дробь — бесконечной десятичной периодической дробью.
\(7 = 7,00000... = 7,(0)\).
Так же обстоит дело и с числом \(4,244\):
\(4,244 = 4,244000... =4,244(0)\).
Чтобы всё было аккуратно, говорят так: \(4,244\) — конечная десятичная дробь, а \(4,244000...\) — бесконечная десятичная дробь.
Вообще любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.
Пример:
записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь
а) \(1,(47)\); б) \(1,3(47)\).
Решение
а) Пусть \(x = 1,(47)\), т. е. \(x\) \(=\) \(1,474747...\)
Умножим \(x\) на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Поскольку в периоде содержатся две цифры, надо, чтобы запятая передвинулась вправо на две цифры, а для этого число \(x\) нужно умножить на \(100\). Получим:
Умножим \(x\) на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Поскольку в периоде содержатся две цифры, надо, чтобы запятая передвинулась вправо на две цифры, а для этого число \(x\) нужно умножить на \(100\). Получим:
\(100x = 147,474747...\)
Следовательно,
_ \(100x = 147,474747... \)
\( x = 1,474747... \)
_________________________________
\(100x - x = 147,474747... - 1,474747...\)
\(99x = 146\);
\(x=\).
Итак, \(1,(47) =\) \(= 1\) .
б) Пусть \(x = 1,3(47) = 1,3474747... \) Сначала умножим \(x\) на \(10\), чтобы в полученном произведении период начинался сразу после запятой: \(10x = 13,474747...\) Теперь число \(10x\) умножим на \(100\) — тогда запятая сместится ровно на один период вправо:
\(1000x = 1347,474747...\)
Имеем:
_\(1000x = 1347,474747...\)
\(10x = 13,474747... \)
__________________________
\( 990x = 1334\);
\(x =\) \(=\) \(= 1\) .