Рациональные числа — урок. Алгебра, 10 класс.

Рациональные числа — это числа вида

\frac{m}{n}

, где \(m\) — целое число, а \(n\) — натуральное число.

Множество рациональных чисел принято обозначать буквой

ℚ

Выполняется соотношение

ℤ \subset ℚ

, поскольку любое число \(m\) можно представить в виде

\frac{m}{1}

.
Итак, можно сказать, что

рациональные числа — это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.

Любая десятичная дробь как частный случай обыкновенной дроби тоже является рациональным числом.

Для рациональных чисел, кроме указанной выше записи

\frac{m}{n}

, можно использовать другой вид записи, который рассмотрен ниже.
Рассмотрим целое число \(7\), обыкновенную дробь

\frac{5}{11}

и десятичную дробь \(4,244\). Целое число \(7\) можно записать в виде бесконечной десятичной дроби \(7,0000...\)

Десятичную дробь \(4,244\) тоже можно записать в виде бесконечной десятичной дроби \(4,244000...\)

Для числа

\frac{5}{11}

воспользуемся методом «деления углом»:

Как видите, после запятой происходит повторение одной и той же группы цифр: \(45, 45, 45\)... Таким образом,

\frac{5}{11}

\(= 0,454545...\)

Короче это записывают так: \(0,(45)\).

Повторяющуюся группу цифр после запятой называют периодом, а саму десятичную дробь — бесконечной десятичной периодической дробью.

Число \(7\) также можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого надо в периоде записать число \(0\):

\(7 = 7,00000... = 7,(0)\).

Так же обстоит дело и с числом \(4,244\):

\(4,244 = 4,244000... =4,244(0)\).

Чтобы всё было аккуратно, говорят так: \(4,244\) — конечная десятичная дробь, а \(4,244000...\) — бесконечная десятичная дробь.

Вообще любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Пример:

записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь

а) \(1,(47)\); б) \(1,3(47)\).

Решение

а) Пусть \(x = 1,(47)\), т. е. \(x\) \(=\) \(1,474747...\)
Умножим \(x\) на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Поскольку в периоде содержатся две цифры, надо, чтобы запятая передвинулась вправо на две цифры, а для этого число \(x\) нужно умножить на \(100\). Получим:

\(100x = 147,474747...\)

Следовательно,

_ \(100x = 147,474747... \)

\( x = 1,474747... \)

_________________________________

\(100x - x = 147,474747... - 1,474747...\)

\(99x = 146\);

\(x=\)

\frac{146}{99}

Итак, \(1,(47) =\)

\frac{146}{99}

\(= 1\)

\frac{47}{99}

б) Пусть \(x = 1,3(47) = 1,3474747... \) Сначала умножим \(x\) на \(10\), чтобы в полученном произведении период начинался сразу после запятой: \(10x = 13,474747...\) Теперь число \(10x\) умножим на \(100\) — тогда запятая сместится ровно на один период вправо:

\(1000x = 1347,474747...\)

Имеем:

_\(1000x = 1347,474747...\)

\(10x = 13,474747... \)

__________________________

\( 990x = 1334\);

\(x =\)