1. Преобразование выражения A sin x + B cos x к виду C sin (x + t)

На практике, например, при изучении колебаний, довольно часто встречаются выражения вида $A \cdot \mathit{sin} x+ B \cdot \mathit{cos} x$, причём возникает необходимость свести эту сумму к одной тригонометрической функции.

 

Рассмотрим для примера выражение $\sqrt{3}\mathit{sin}x+\mathit{cos}x$. Если переписать данное выражение в виде $2\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathit{sin}x+\frac{1}{2}\mathit{cos}x\right)$ и учесть, что $\frac{\sqrt{3}}{2}=\mathit{cos}\frac{\mathrm{\pi }}{6},\frac{1}{2}=\mathit{sin}\frac{\mathrm{\pi }}{6}$, то можно заметить, что выражение в скобках представляет собой правую часть формулы «синус суммы» для аргументов \(x\) и $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$.

Таким образом, $2\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathit{sin}x+\frac{1}{2}\mathit{cos}x\right)=2\cdot \left(\mathit{cos}\frac{\mathrm{\pi }}{6}\mathit{sin}x+\mathit{sin}\frac{\mathrm{\pi }}{6}\mathit{cos}x\right)=2\mathit{sin}\left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$.

Итак, $\sqrt{3}\mathit{sin}x+\mathit{cos}x=2\mathit{sin}\left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$.

 

Выражение вида $A \cdot \mathit{sin} x+ B \cdot \mathit{cos} x$ (для случая, когда $A=\sqrt{3},B=1$) мы преобразовали к виду $C\cdot \mathit{sin}(x+t)$.

Конкретнее: у нас получилось, что \(C=2\), $t=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$.

 

 

Оказывается, это неслучайно — на подобной идее основано преобразование любого выражения $A \cdot \mathit{sin} x+ B \cdot \mathit{cos} x$.

 

Введём обозначение: $C=\sqrt{A^2+B^2}$. Заметим, что ${\left(\frac{A}{C}\right)}^2+{\left(\frac{B}{C}\right)}^2=1$.

В самом деле, ${\left(\frac{A}{C}\right)}^2+{\left(\frac{B}{C}\right)}^2=\frac{A^2}{C^2}+\frac{B^2}{C^2}=\frac{A^2+B^2}{C^2}=\frac{C^2}{C^2}=1$.

 

Это значит, что пара чисел — $\frac{A}{C}$, $\frac{B}{C}$ — удовлетворяет уравнению $x^2+y^2=1$, т. е. точка с координатами $\left(\frac{A}{C};\frac{B}{C}\right)$ лежит на числовой окружности. Но тогда $\frac{A}{C}$ есть косинус, а $\frac{B}{C}$ — синус некоторого аргумента \(t\), т. е. $\frac{A}{C}=\mathit{cos}t,\frac{B}{C}=\mathit{sin}t$.

 

Учитывая всё это, поработаем с выражением $A \cdot \mathit{sin} x+ B \cdot \mathit{cos} x$:

$A\cdot \mathit{sin}x+ B\cdot \mathit{cos}x=C\cdot \left(\frac{A}{C}\mathit{sin}x+\frac{B}{C}\mathit{cos}x\right)=C\left(\mathit{cos}t\cdot \mathit{sin}x+\mathit{sin}t\cdot \mathit{cos}x\right)=C\cdot \mathit{sin}\left(x+t\right)$.