Теория:

Одними из основных и наиболее часто используемых формул преобразования тригонометрических выражений являются формулы  тангенса  суммы  и  разности  аргументов
Они устанавливают соотношение между тангенсом  общей  суммы  или  разности  аргументов и тангенсами  отдельных  аргументов — слагаемых.
 
При всех допустимых значениях аргументов справедливы формулы:
   тангенса  суммы  аргументов:          tg(α+β)=tgα+tgβ1tgαtgβ;  (1)
 
   тангенса  разности  аргументов:      tg(αβ)=tgαtgβ1+tgαtgβ.  (2)
Оговорка о допустимых значениях аргументов означает, что все тангенсы имеют смысл, т. е. выполняются условия:
 
απ2+πk,βπ2+πnk,n
α+βπ2+πm,m,  для формулы (1), αβπ2+πm,m,  для формулы (2).
 
Эти формулы очень важны и широко применяются не только в математике, но и в физике — особенно в радиотехнике.  
 
Вывод формул естественным образом получается из определения функции  тангенса и использования уже известных формул синуса  и  косинуса  суммы  и  разности  аргументов.  
 
Докажем формулу тангенса  суммы  аргументов. Имеем:
 
 tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ.
 
Разделим каждое из слагаемых числителя и знаменателя на cosαcosβ,
учитывая, что значение дроби от этого не изменится и что cosαcosβ0 из принятых выше условий
для допустимых значений аргументов, т. е. απ2+πk,βπ2+πnk,n. Тогда:
 
tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ=sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβsinαsinβcosαcosβ=tgα+tgβ1tgαtgβ
— что и требовалось доказать.
 
Аналогично доказывается формула тангенса  разности  аргументов:
 
tg(αβ)=sin(αβ)cos(αβ)=sinαcosβcosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=sinαcosβcosαcosβcosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ=tgαtgβ1+tgαtgβ.