Теория:

Числовая последовательность — частный случай числовой функции, поэтому некоторые свойства функций можно перенести и на последовательности.
Последовательность называется возрастающей, если для любого nN  выполняется неравенство an<an+1.
 
Последовательность называется убывающей, если для любого nN выполняется неравенство an>an+1.
 
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.
1. Последовательность, заданная формулой an=nn+1, является монотонной, возрастающей, т. к. разница an+1an=n+1n+2nn+1=1n+1n+2>0.
Пример:
то есть an<an+1.
2. Последовательность с общим членом an=1+(1)n не является монотонной, т. к. a1<a2,a2>a3.
Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число MR, что anM. При этом число M называется верхней границей последовательности.
 
Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число mR, что anm. Число m называется нижней границей последовательности.
Пример:
1. последовательность, заданная формулой an=n(1,2,3...n...), ограничена снизу, но не ограничена сверху.
2. Последовательность, заданная формулой an=1nn;(1,2,3,4...1nn...), не ограничена ни сверху, ни снизу.
Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.