1
июня
ЕГЭ Математика 11 класс
Тренируйся здесь!

### Теория:

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию ${b}_{1},\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{b}_{2},\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{b}_{3}...\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{b}_{n}...$

Bычислим суммы двух, трёх, четырёх и т. д. членов прогрессии:

$\begin{array}{l}{\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}S}_{1}={b}_{1};\\ {\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}S}_{2}={b}_{1}+{b}_{2};\\ \phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{S}_{3}={b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}\\ \phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}...\\ {S}_{n}={b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}+...+{b}_{n}\\ \phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}...\end{array}$

Получилась последовательность ${S}_{1},{S}_{2},{S}_{3}...\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{S}_{n}...$

Как всякая числовая последовательность, она может сходиться или расходиться.

Если последовательность ${S}_{n}$ сходится к пределу $S$, то число $S$ называют суммой геометрической прогрессии (обратите внимание: не суммой $n$ членов геометрической прогрессии, а суммой геометрической прогрессии).

Если же эта последовательность расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят, хотя о сумме первых $n$ членов геометрической прогрессии можно, разумеется, говорить и в этом случае.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

если ${S}_{n}={b}_{1}+{b}_{2}+...+{b}_{n}$, то ${S}_{n}=\frac{{b}_{1}\left({q}^{n}-1\right)}{q-1}$.

Если знаменатель $q$ геометрической прогрессии $\left({b}_{n}\right)$ удовлетворяет неравенству $\left|q\right|<1$, то сумма прогрессии $S$ существует и вычисляется по формуле  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}{S}_{n}=\frac{{b}_{1}}{1-q}$.