Теория:

Графики любых функций строят по точкам. Но если вид графика заранее неизвестен, эти точки надо выбирать со смыслом — выделять особо важные точки графика, которые определяют его вид.

Обрати внимание!

К особо важным точкам графика функции y=f(x) относят:

стационарные и критические точки;

— точки экстремума;

— точки пересечения графика с осью \(x\) (нули функции) и с осью \(y\);

— точки разрыва функции.

Если речь идёт о построении графика незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять определённую схему исследования свойств функции, которая помогает составить представление о её графике. Когда такое представление сложится, можно приступать к построению графика по точкам.

В курсе математического анализа разработана универсальная схема исследования свойств функции и построения графика функции, позволяющая строить весьма сложные графики. Для наших нужд будут достаточны упрощённые варианты указанной схемы.

1) Если функция y=f(x) непрерывна на всей числовой прямой, то достаточно найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать ещё несколько контрольных точек.

2) Если функция y=f(x) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с нахождения области определения функции (если область не задана) и с указания её точек разрыва.

3) Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики чётной или нечётной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси \(y\) или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при \(x>0\), а затем дорисовать симметричную ветвь.

4) Если limxf(x)=b, то, как известно, прямая \(y=b\) является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x). Асимптоту следует строить на координатной плоскости, она даёт своеобразный ориентир для графика.

5) При условии: если xa, то y — прямая \(x=a\) является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Пример:

построить график функции y=x2+1x21.

Решение 1. Введём обозначение: f(x)=x2+1x21. Найдём область определения функции. Она задаётся условиями x1,x1. Итак, D(f)=(;1)(1;1)(1;+).

2. Исследуем функцию на чётность:

f(x)=x2+1x21=x2+1x21=f(x).

Значит, заданная функция чётна, её график симметричен относительно оси ординат, а потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика при x0.

3. Найдём асимптоты. Вертикальной асимптотой является прямая \(x=1\), поскольку при этом значении \(x\) знаменатель дроби обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Для отыскания горизонтальной асимптоты надо вычислить limxf(x):

limxx2+1x21=limxx2x2+1x2x2x21x2=limx1+1x211x2=1.

 Значит, \(y=1\) — горизонтальная асимптота графика функции.

4. Найдём стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:

y=x2+1x21=(x2+1)(x21)(x2+1)(x21)x212=2x(x21)(x2+1)2xx212==4xx212.

Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет.

Стационарные точки найдём из соотношения y=0. Получаем: \(-4x=0\) — откуда находим, что \(x=0\). При \(x<0\) имеем: y>0; при \(x>0\) имеем: y<0. Значит, \(x=0\) — точка максимума функции, причём ymax=f(0)=02+1021=1.

При \(x>0\) имеем: y<0; но следует учесть наличие точки разрыва \(x=1\). Значит, вывод о промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке 0;1) функция убывает, на промежутке (1;+) функция также убывает.

5. Составим таблицу значений функции f(x)=x2+1x21 при x0:

\(x\)
\(0\)
\(0.5\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(y\)
\(-1\)
53
53
54
1715

 

6. Отметим найденные точки на координатной плоскости, учтя при этом, что \((0;-1)\) — точка максимума, что \(y=1\) — горизонтальная асимптота, что \(x=1\) — вертикальная асимптота, построим ветви искомого графика при x0. Добавив ветви, симметричные построенным относительно оси ординат, получим весь график.

graf 09 tema.bmp