Теория:

Формулы вычисления пределов последовательностей:

1. limn1n=0;

2. limnqn=0,q<1;

3. limnC=C, т. е. предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности.

4. Если limnxn=b, limnyn=c, то

          4.1. предел суммы равен сумме пределов:

          limn(xn+yn)=b+c;

          4.2. предел произведения равен произведению пределов:

          limn(xnyn)=bc;

          4.3. предел частного равен частному пределов:

          limnxnyn=bc, если c0;

          4.4. постоянный множитель можно вынести за знак предела:

          limnkxn=kb.

 

5. Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение limnknm=0.

Пример:

1. найти предел последовательности:

xn=2n5n2+3.

Применив правило «предел суммы», получим:

limn2n5n2+3=limn2nlimn5n2+limn3=00+3=3.

2. Вычислить limn2n2+3n2+4.

В подобных случаях применяют искусственный приём: делят числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на n2. Получим:

limn2n2n2+3n2n2n2+4n2=limn2+3n21+4n2=

— далее воспользуемся правилом «предел дроби (частного)»:

=2+01+0=21=2.

Итак: limn2n2+3n2+4=2.