Теория:

Число b называют пределом последовательности (yn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Пишут:
ynb, или limnyn=b.

Пояснение к данному определению:

окрестностью точки b радиуса r1 является интервал  (br1;b+r1), (r1>0).

Возьмём интервал (br1;b+r1), т. е. окрестность точки br1 — радиус этой окрестности (r1>0). Существует номер n1, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности: yn1(br1;b+r1),yn1+1(br1;b+r1),yn1+2(br1;b+r1) и т. д.

Пример:
дана последовательность (yn):
1,12,13,14...1n...
Доказать, что limn1n=0.
Решение.
Возьмём любую окрестность точки 0, пусть её радиус равен r.
lim.bmp
Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n0 так, чтобы выполнялось неравенство 1n0<r.
Если r=0,001, то в качестве n0 можно взять 1001, поскольку 11001<0,001, и т. д.
Это значит, что член последовательности (yn) с номером n0, т. е. yn0, попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более, в этой окрестности будут находиться все последующие члены заданной убывающей последовательности yn=1n. В соответствии с определением это и означает, что limn1n=0.
Для наглядности построим график последовательности yn=1n, который состоит из точек с абсциссами 1,2,3,4..., лежащих на ветви гиперболы y=1x.
graf.bmp
 
Так как limn1n=0, то прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика функции y=1x,xN.