Теория:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции чаще всего  используется график функции. В некоторых случаях можно найти наибольшее и наименьшее значения функции и без помощи графика, используя рассуждения. В более сложных случаях используется производная. Для этого сформулируем некоторые теоремы.

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений (Эта теорема доказывается в курсе высшей математики).

2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции \(f(x)\) на отрезке \([a; b]\):

1. найти производную f(x).

2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка \([a; b]\).

3. Вычислить значения функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках \(a\) и \(b\); выбрать среди этих значений наименьшее (это будет yнаим) и наибольшее (это будет yнаиб).

А как быть, если речь идёт о нахождении наибольшего или наименьшего значения функции, непрерывной на незамкнутом промежутке, например, на интервале? Можно построить график функции и снять информацию с полученной графической модели. Но чаще оказывается более удобным использовать следующую теорему.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке \(X\) и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку x0. Тогда:

а) если x=x0 — точка максимума, то yнаиб=f(xo);

б) если  x=x0 — точка минимума, то yнаим=f(xo).

На рисунках приведены соответствующие геометрические иллюстрации.

                       min_.png                         max.png