Теория:

Теорема  (условие постоянства функции).

Для того чтобы непрерывная функция \(y=f(x)\) была постоянна на промежутке \(X\), необходимо и достаточно, чтобы во всех внутренних точках промежутка производная функции была равна нулю.

Пример:

докажи, что если α<β, то α+cosα<β+cosβ.

Решение. Рассмотрим функцию f(x)=x+cosx. Её производная равна:

f(x)=x+cosx=1sinx.

f(x)0 при любых \(x\). Равенство f(x)=0 выполняется только в точках вида x=π2+2πn,n. Поэтому функция возрастает при любых \(x\). Значит, если α<β,  то f(α)<f(β), т. е. α+cosα<β+cosβ.