Теория:
Теорема 3. Если функция \(y=f(x)\) имеет экстремум в точке , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция непрерывна на промежутке \(X\) и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку . Тогда:
а ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при выполняется неравенство , а при — неравенство , то — точка минимума функции );
б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при выполняется неравенство , а при — неравенство , то — точка максимума функции );
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки знаки производной одинаковы, то в точке экстремума нет.
Для удобства условимся внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называть стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, — критическими.
Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции , сначала нужно найти критические точки, в которых или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические (стационарные) точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)
Алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы:
1. найти производную .
2. Найти стационарные и критические точки.
3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
4. Опираясь на теоремы \(1\), \(2\) и \(4\), сделать выводы о монотонности функции и о её точках экстремума.
Значит: если производная функции в критической точке
\(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
