Теория:
1. Исследование выпуклости графика функции
Если функция \(f(x)\) имеет на интервале \((a,b)\) вторую производную и
() во всех точках \((a,b)\), то график функции \(f(x)\) имеет на \((a,b)\) выпуклость, направленную вниз (вверх).
Пример:
определить выпуклости функции .
Вторая производная этой функции — это . Она отрицательна, если \(x<0\), положительна, если \(x>0\).
Значит, график \(f(x)\) в интервале имеет выпуклость, направленную вверх, и в интервале имеет выпуклость, направленную вниз.
2. Нахождение точек перегиба функции
Чтобы определить точки перегиба функции \(f(x)\), нужно найти точки, в которых вторая производная этой функции является нулём или не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда можно определить знак второй производной функции в соответствующих интервалах — вычислив значения второй производной в какой-либо точке интервала.
Если вторая производная функции в точке меняет знак, эта точка является точкой перегиба, если не меняет, не является точкой перегиба.
Пример:
рассмотрим функцию .
Вторая производная этой функции — это . Она отрицательна, если \(x<0\), и положительна, если \(x>0\). Значит, в точке \(x=0\) вторая производная меняет знак, и эта точка — точка перегиба функции.
