Теория:

Графики любых функций строят по точкам. Однако не всегда заранее мы знаем как выглядит график. В этих случаях выделяют особо значимые точки графика, которые и задают его вид.

Обрати внимание!

К особо значимым точкам графика функции y=f(x) относят:

стационарные и критические точки;

— точки экстремума;

— точки пересечения графика с осью \(x\) (нули функции) и с осью \(y\);

— точки разрыва функции.

Таким образом, для построения сложной функции сначала нужно исследовать свойства этой функции, найти важные её точки и уже потом по этим точкам строить график.

Существует чёткий план исследования свойств функции, позволяющий определить поведение функции на области определения и построить её график.

1) Когда функция y=f(x) непрерывна на всей числовой прямой, тогда определяют стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбирают ещё несколько контрольных точек.

2) Когда функция y=f(x) определена не на всей числовой прямой, то сначала находят область определения функции (если область не задана) и указывают её точки разрыва.

3) Исследуют функцию на чётность, т. к. графики чётной или нечётной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси \(y\) или относительно начала координат), а, значит, можно сначала построить только ветвь графика при \(x>0\), а затем дорисовать симметричную ветвь.

4) Если limxf(x)=b, то, прямая \(y=b\) является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x). Асимптоту следует строить на координатной плоскости, она помогает построить график.

5) При условии: если xa, то y — прямая \(x=a\) является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Пример:

построить график функции y=x2+4x24.

Решение 1. Введём обозначение: f(x)=x2+4x24. Найдём область определения функции. Она задаётся условиями x2,x2. Итак, D(f)=(;2)(2;2)(2;+).

2. Исследуем функцию на чётность:

f(x)=x2+4x24=x2+4x24=f(x).

Функция является чётной, её график симметричен относительно оси ординат, а потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика при x0.

3. Определим асимптоты. Вертикальной асимптотой является прямая \(x=1\), т. к. при этом значении \(x\) знаменатель дроби обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Для определения горизонтальной асимптоты нужно вычислить limxf(x):

limxx2+4x24=limxx2x2+4x2x2x24x2=limx1+4x214x2=1.

 Следовательно, \(y=1\) — горизонтальная асимптота.

4. Найдём стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:

y=x2+4x24=(x2+4)(x24)(x2+4)(x24)x242=2x(x24)(x2+4)2xx242=2x38x2x38xx242==16xx242.

Производная существует на всей области определения функции, следовательно, критических точек у функции нет.

Стационарные точки определим из соотношения y=0. Получаем: \(-16x=0\) — откуда получаем, что \(x=0\). При \(x<0\) имеем: y>0; при \(x>0\) имеем: y<0. Таким образом, \(x=0\) — точка максимума функции, причём ymax=f(0)=02+4024=1.

При \(x>0\) имеем: y<0; но следует учесть наличие точки разрыва \(x=2\). Значит, вывод о промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке 0;2) функция убывает, на промежутке (2;+) функция также убывает.

5. Найдём несколько точек, принадлежащих графику функции f(x)=x2+4x24 при x0:

\(x\)
\(0\)
\(0.5\)
\(1\)
\(3\)
\(4\)
\(y\)
\(-1\)
1715
53
135
53
 
6. Сначала нарисуем часть графика при x0, потом — часть, симметричную ей относительно оси \(y\). Полученный график имеет точку максимума \((0;-2)\), горизонтальную асимптоту \(y=1\) и вертикальную асимптоту \(x=2\).
График 2 старый.png