Теория:

Построение графиков любых функций выполняется по точкам. Однако не всегда заранее мы знаем как выглядит график. В этих случаях выделяют особо значимые точки графика, которые и задают его вид.

Обрати внимание!

К особо значимым точкам графика функции y=f(x) относят:

стационарные и критические точки;

— точки экстремума;

— точки пересечения графика с осью \(x\) (нули функции) и с осью \(y\);

— точки разрыва функции.

Таким образом, для построения сложной функции сначала нужно исследовать свойства этой функции, найти важные её точки и уже потом по этим точкам строить график.

Существует чёткий план исследования свойств функции, позволяющий определить поведение функции на области определения и построить её график.

1) Когда функция y=f(x) непрерывна на всей числовой прямой, тогда определяют  точки пересечения графика с осями координат, стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности и несколько контрольных точек, если это необходимо.

2) Когда функция y=f(x) определена не на всей числовой прямой, тогда в первую очередь находят область определения функции и точки разрыва.

3) Проверяют функцию на чётность, т. к. график чётной функции симметричен относительно оси \(y\) и график нечётной функций симметричен относительно начала координат. Значит, можно построить только ветвь графика при \(x>0\), а затем симметрично её отобразить.

4) Если limxf(x)=b, то, прямая \(y=b\) является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x).

5) Прямая \(x=a\) является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если  y при xa.

Пример:

построить график функции y=x2+4x24.

Решение 1. Обозначим: f(x)=x2+4x24. Область определения этой функции: D(f)=(;2)(2;2)(2;+), так как x2,x2.

2. Проведём исследование функции на чётность/нечётность:

f(x)=x2+4x24=x2+4x24=f(x).

Функция чётная. Следовательно, можно построить ветви графика функции для x0 и отобразить их симметрично относительно оси ординат.

3. Определим асимптоты. Вертикальная асимптота: прямая \(x=1\), т. к. при \(x=1\) знаменатель дроби равен нулю, а числитель при этом не равен нулю. Для определения горизонтальной асимптоты вычисляем limxf(x):

limxx2+4x24=limxx2x2+4x2x2x24x2=limx1+4x214x2=1.

 Следовательно, \(y=1\) — горизонтальная асимптота.

4. Определим стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:

y=x2+4x24=(x2+4)(x24)(x2+4)(x24)x242=2x(x24)(x2+4)2xx242=2x38x2x38xx242==16xx242.

Производная существует на всей области определения функции, следовательно, критических точек у функции нет.

Стационарные точки определим из уравнения y=0. Получаем: \(-16x=0\) — откуда получаем, что \(x=0\). При \(x<0\) имеем: y>0; при \(x>0\) имеем: y<0. Таким образом, в точке \(x=0\) функция имеет максимум, причём ymax=f(0)=02+4024=1.

При \(x>0\) имеем: y<0. Учитывая точку разрыва \(x=2\), делаем вывод: функция убывает на промежутках 0;2) и (2;+).

5. Найдём несколько точек, принадлежащих графику функции f(x)=x2+4x24 при x0:

\(x\)
\(0\)
\(0.5\)
\(1\)
\(3\)
\(4\)
\(y\)
\(-1\)
1715
53
135
53
 
6. Сначала нарисуем часть графика при x0, потом — часть, симметричную ей относительно оси \(y\). Полученный график имеет точку максимума \((0;-2)\), горизонтальную асимптоту \(y=1\) и вертикальную асимптоту \(x=2\).
График 2 старый.png