1. Cумма бесконечной геометрической прогрессии

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию $b_1,b_2,b_3...b_n...$

Bычислим суммы двух, трёх, четырёх и т. д. членов прогрессии:

$\begin{array}{l}{S}_1=b_1;\\ S_2=b_1+b_2;\\ S_3=b_1+b_2+b_3\\ ...\\ S_n=b_1+b_2+b_3+...+b_n\\ ...\end{array}$

Получилась последовательность $S_1,S_2,S_3...S_n...$

Как всякая числовая последовательность, она может сходиться или расходиться.

Если последовательность $S_n$ сходится к пределу $S$, то число $S$ называют суммой геометрической прогрессии (обратите внимание: не суммой $n$ членов геометрической прогрессии, а суммой геометрической прогрессии).

Если же эта последовательность расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят, хотя о сумме первых $n$ членов геометрической прогрессии можно, разумеется, говорить и в этом случае.