Теория:

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию b1,b2,b3...bn...

Bычислим суммы двух, трёх, четырёх и т. д. членов прогрессии:

S1=b1;S2=b1+b2;S3=b1+b2+b3...Sn=b1+b2+b3+...+bn...

Получилась последовательность S1,S2,S3...Sn...

Эта последовательность может сходиться или расходиться, как и любая другая числовая последовательность.

Если последовательность Sn сходится к пределу S, тогда число S называют суммой геометрической прогрессии (не следует путать с суммой n членов геометрической прогрессии).

В случае, когда эта последовательность расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят, однако сумму первых n членов геометрической прогрессии вычислить можно.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

если Sn=b1+b2+...+bn, то Sn=b1(qn1)q1.

Если знаменатель q геометрической прогрессии (bn) удовлетворяет неравенству q<1, то сумма прогрессии S существует и вычисляется по формуле  limnSn=b11q.