Теория:

Даны функция \(y=f(x)\) и точка \(M(a;f(a))\); известно, что существует f(a).
Уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(M\) имеет вид \(y=kx+m\). Найдём значения коэффициентов \(k\) и \(m\).

Известно, что k=f(a). Для вычисления значения \(m\) воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку \(M(a;f(a))\). 
При подстановке координаты точки \(M\) в уравнение прямой, получим верное равенство \(f(a)=ka+m\), т. е. \(m=f(a)-ka\).

Подставим найденные значения коэффициентов \(k\) и \(m\) в уравнение прямой:

y=kx+m;y=kx+(f(a)ka);y=f(a)+k(xa);y=f(a)+f(a)(xa).

Нами получено уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(x=a\).

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции \(y=f(x)\)

1. Обозначаем абсциссу точки касания буквой \(a\).

2. Вычисляем \(f(a)\).

3. Находим f(x) и вычисляем f(a).

4. Подставляем найденные числа \(a\), \(f(a)\), f(a) в формулу y=f(a)+f(a)(xa).

Для функции \(y=f(x)\), имеющей производную в фиксированной точке \(x\), справедливо приближенное равенство Δyf(x)Δx;

или, подробнее, f(x+Δx)f(x)f(x)Δx.

43. vienād..bmp

В этом приближённом равенстве заменим \(x\) на \(a\), вместо x+Δx будем писать \(x\) и тогда Δx будет равно \(x-a\). Получим:

f(x)f(a)f(a)(xa) илиf(x)f(a)+f(a)(xa).

Смысл равенства заключается в том, что приближенное значение функции в точке \(x\) равно значению касательной в этой точке.