1. Уравнение касательной к графику функции

Пусть даны функция \(y=f(x)\) и точка \(M(a;f(a))\); пусть известно, что существует $f^{\prime }(a)$.
Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке.
Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид \(y=kx+m\), поэтому задача состоит в нахождении значений коэффициентов \(k\) и \(m\).

Известно, что $k=f^{\prime }(a)$. Для вычисления значения \(m\) воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку \(M(a;f(a))\).
Это значит, что если подставить координаты точки \(M\) в уравнение прямой, получим верное равенство \(f(a)=ka+m\), т. е. \(m=f(a)-ka\).

Осталось подставить найденные значения коэффициентов \(k\) и \(m\) в уравнение прямой:

$\begin{array}{l}y=\mathit{kx}+m;\\ y=\mathit{kx}+(f(a)-\mathit{ka});\\ y=f(a)+k(x-a);\\ \\ y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a).\end{array}$

Нами получено уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(x=a\).

Для функции \(y=f(x)\), имеющей производную в фиксированной точке \(x\), справедливо приближенное равенство $\mathrm{\Delta }y\approx f^{\prime }(x)\cdot \mathrm{\Delta }x$;

или, подробнее, $f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)\approx f^{\prime }(x)\cdot \mathrm{\Delta }x$.

Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения:  вместо \(x\) будем писать \(a\), вместо $x+\mathrm{\Delta }x$ будем писать \(x\) и, соответственно, вместо $\mathrm{\Delta }x$ будем писать \(x-a\). Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:

$\begin{array}{l}f(x)-f(a)\approx f^{\prime }(a)(x-a)\text{ или}\\ f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a).\end{array}$

Cмысл приближенного равенства в том, что в качестве приближенного значения функции в точке \(x\) берут значение ординаты касательной в той же точке.