Теория:
Даны функция \(y=f(x)\) и точка \(M(a;f(a))\); известно, что существует .
Уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(M\) имеет вид \(y=kx+m\). Найдём значения коэффициентов \(k\) и \(m\).
Известно, что . Для вычисления значения \(m\) воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку \(M(a;f(a))\).
При подстановке координаты точки \(M\) в уравнение прямой, получим верное равенство \(f(a)=ka+m\), т. е. \(m=f(a)-ka\).
Подставим найденные значения коэффициентов \(k\) и \(m\) в уравнение прямой:
Нами получено уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(x=a\).
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции \(y=f(x)\)
1. Обозначаем абсциссу точки касания буквой \(a\).
2. Вычисляем \(f(a)\).
3. Находим и вычисляем .
4. Подставляем найденные числа \(a\), \(f(a)\), в формулу
Для функции \(y=f(x)\), имеющей производную в фиксированной точке \(x\), справедливо приближенное равенство ;
или, подробнее, .
В этом приближённом равенстве заменим \(x\) на \(a\), вместо будем писать \(x\) и тогда будет равно \(x-a\). Получим:
Смысл равенства заключается в том, что приближенное значение функции в точке \(x\) равно значению касательной в этой точке.