Теория:
Пусть даны функция \(y=f(x)\) и точка \(M(a;f(a))\); пусть известно, что существует .
Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке.
Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид \(y=kx+m\), поэтому задача состоит в нахождении значений коэффициентов \(k\) и \(m\).
Известно, что . Для вычисления значения \(m\) воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку \(M(a;f(a))\).
Это значит, что если подставить координаты точки \(M\) в уравнение прямой, получим верное равенство \(f(a)=ka+m\), т. е. \(m=f(a)-ka\).
Осталось подставить найденные значения коэффициентов \(k\) и \(m\) в уравнение прямой:
Нами получено уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(x=a\).
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции \(y=f(x)\)
1. Обозначить абсциссу точки касания буквой \(a\).
2. Вычислить \(f(a)\).
3. Найти и вычислить .
4. Подставить найденные числа \(a\), \(f(a)\), в формулу
Для функции \(y=f(x)\), имеющей производную в фиксированной точке \(x\), справедливо приближенное равенство ;
или, подробнее, .
Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения: вместо \(x\) будем писать \(a\), вместо будем писать \(x\) и, соответственно, вместо будем писать \(x-a\). Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:
Cмысл приближенного равенства в том, что в качестве приближенного значения функции в точке \(x\) берут значение ординаты касательной в той же точке.