Задачи, приводящие к понятию производной

Задача 1 (о скорости движения). Материальная точка движется по прямой, на которой заданы начало отсчёта, единица измерения (метр) и направление. Закон движения задан формулой $s=s(t)$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — расстояние материальной точки от начала отсчёта (её координата) в момент времени $t$ (в метрах). Найти скорость движения материальной точки в момент времени $t$ (в $м/с$).

Решение. Пусть в момент времени $t$ материальная точка была в положении $T$.

приращение.png

В момент времени $t + Δ t$ она будет в точке $K : OK = s (t + Δ t)$ .

Значит, за $Δ t$ секунд материальная точка переместилось из $T$ в точку $K$. Имеем: $TK = OK - OT = s (t + Δ t) - s (t)$ . Полученную разность мы назвали приращением функции: $s (t + Δ t) - s (t) = Δ s$ . Итак, $TK = Δ s (м)$ . Средняя скорость $v_{ср}$ движения материальной точки за промежуток времени $[t; t + Δ t]$ равна $v_{ср} = \frac{Δ s}{Δ t}$ $(м/с)$.

А скорость $v(t)$ в момент времени $t$ (мгновенная скорость) — это тоже скорость движения за промежуток времени $[t; t + Δ t]$ , но $Δ t$ выбирается очень маленьким, почти равным нулю, то есть $Δ t \to 0$ . Это значит, что $v (t) = \lim_{Δ t \to 0} v_{ср}$ .

Итак,

v = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ s}{Δ t}

Задача 2 (о касательной к графику функции). Дан график функции $y=f(x)$. На нём выбрана точка $M(a;f(a))$, в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

2.uzd.05.T.bmp

Решение. Дадим аргументу приращение $Δ x$ и рассмотрим на графике точку $P$ с абсциссой $a + Δ x$ . Ордината точки $P$ равна $f (a + Δ x)$ . Угловой коэффициент секущей $MP$ равен тангенсу угла между секущей и осью $x$: $k_{сек} = \frac{Δ y}{Δ x}$ .

При $Δ x$ , стремящемся к нулю, точка $P$ будет приближаться по графику к точке $M$. При этом касательная будет предельным положением секущей. Значит, угловой коэффициент касательной равен $k_{кас} = \lim_{Δ x \to 0} k_{сек}$ . Используя приведённую выше формулу для $k_{сек}$ , получаем:

$k_{кас} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ .

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

1. Задачи, приводящие к понятию производной

Теория: