Теория:
Задача 1 (о скорости движения). По прямой, на которой заданы начало отсчёта, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой \(s=s(t)\), где \(t\) — время (в секундах), \(s(t)\) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени \(t\) по отношению к началу отсчёта (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени \(t\) (в \(м/с\)).
Решение. Предположим, что в момент времени \(t\) тело находилось в точке \(M\).
Дадим аргументу \(t\) приращение и рассмотрим ситуацию в момент времени . Координата материальной точки станет другой, тело в этот момент будет находиться в точке .
Значит, за секунд тело переместилось из точки \(M\) в точку \(P\). Имеем: . Полученную разность мы назвали приращением функции: . Итак, . Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени : \((м/с)\).
А что такое скорость \(v(t)\) в момент времени \(t\) (её называют мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени при условии, что выбирается всё меньше и меньше; точнее: при условии, что . Это значит, что .
Итак,
Задача 2 (о касательной к графику функции). Дан график функции \(y=f(x)\). На нём выбрана точка \(M(a;f(a))\), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.
Решение. Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике точку \(P\) с абсциссой . Ордината точки \(P\) равна . Угловой коэффициент секущей \(MP\), т. е. тангенс угла между секущей и осью \(x\), вычисляется по формуле .
Если мы теперь устремим к нулю, то точка \(P\) начнёт приближаться по кривой к точке \(M\). Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле . Используя приведённую выше формулу для , получаем:
.