Теория:

Задача 1 (о скорости движения). Материальная точка движется по прямой, на которой заданы начало отсчёта, единица измерения (метр) и направление. Закон движения задан формулой \(s=s(t)\), где \(t\) — время (в секундах), \(s(t)\) — расстояние материальной точки от начала отсчёта (её координата) в момент времени \(t\) (в метрах). Найти скорость движения материальной точки в момент времени \(t\) (в \(м/с\)).

Решение. Пусть в момент времени \(t\) материальная точка была в положении \(T\).

приращение.png

В момент времени t+Δt она будет в точке K:OK=st+Δt.

Значит, за Δt секунд материальная точка переместилось из \(T\) в точку \(K\). Имеем: TK=OKOT=st+Δts(t). Полученную разность мы назвали приращением функции: st+Δts(t)=Δs. Итак, TK=Δs(м). Средняя скорость vср движения материальной точки за промежуток времени t;t+Δt равна vср=ΔsΔt \((м/с)\).

А скорость \(v(t)\) в момент времени \(t\) (мгновенная скорость) — это тоже скорость движения за промежуток времени t;t+Δt, но Δt выбирается очень маленьким, почти равным нулю, то есть Δt0. Это значит, что v(t)=limΔt0vср.

Итак,

v=limΔt0ΔsΔt.

Задача 2 (о касательной к графику функции). Дан график функции \(y=f(x)\). На нём выбрана точка \(M(a;f(a))\), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

2.uzd.05.T.bmp

Решение. Дадим аргументу приращение Δx и рассмотрим на графике точку \(P\) с абсциссой a+Δx. Ордината точки \(P\) равна fa+Δx. Угловой коэффициент секущей \(MP\) равен тангенсу угла между секущей и осью \(x\): kсек=ΔyΔx.

При Δx, стремящемся к нулю, точка \(P\) будет приближаться по графику к точке \(M\). При этом касательная будет предельным положением секущей. Значит, угловой коэффициент касательной равен  kкас=limΔx0kсек. Используя приведённую выше формулу для kсек, получаем:

kкас=limΔx0ΔyΔx.