Задачи, приводящие к понятию производной

Задача 1 (о скорости движения). По прямой, на которой заданы начало отсчёта, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой $s=s(t)$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени $t$ по отношению к началу отсчёта (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени $t$ (в $м/с$).

Решение. Предположим, что в момент времени $t$ тело находилось в точке $M$.

1 uzd..bmp

Дадим аргументу $t$ приращение $Δ t$ и рассмотрим ситуацию в момент времени $t + Δ t$ . Координата материальной точки станет другой, тело в этот момент будет находиться в точке $P : OP = s (t + Δ t)$ .

Значит, за $Δ t$ секунд тело переместилось из точки $M$ в точку $P$. Имеем: $MP = OP - OM = s (t + Δ t) - s (t)$ . Полученную разность мы назвали приращением функции: $s (t + Δ t) - s (t) = Δ s$ . Итак, $MP = Δ s (м)$ . Нетрудно найти среднюю скорость $v_{ср}$ движения тела за промежуток времени $[t; t + Δ t]$ : $v_{ср} = \frac{Δ s}{Δ t}$ $(м/с)$.

А что такое скорость $v(t)$ в момент времени $t$ (её называют мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени $[t; t + Δ t]$ при условии, что $Δ t$ выбирается всё меньше и меньше; точнее: при условии, что $Δ t \to 0$ . Это значит, что $v (t) = \lim_{Δ t \to 0} v_{ср}$ .

Итак,

v = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ s}{Δ t}

Задача 2 (о касательной к графику функции). Дан график функции $y=f(x)$. На нём выбрана точка $M(a;f(a))$, в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

2.uzd.05.T.bmp

Решение. Дадим аргументу приращение $Δ x$ и рассмотрим на графике точку $P$ с абсциссой $a + Δ x$ . Ордината точки $P$ равна $f (a + Δ x)$ . Угловой коэффициент секущей $MP$, т. е. тангенс угла между секущей и осью $x$, вычисляется по формуле $k_{сек} = \frac{Δ y}{Δ x}$ .

Если мы теперь устремим $Δ x$ к нулю, то точка $P$ начнёт приближаться по кривой к точке $M$. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной $k_{кас} = \lim_{Δ x \to 0} k_{сек}$ будет вычисляться по формуле $k_{кас} = \lim_{Δ x \to 0} k_{сек}$ . Используя приведённую выше формулу для $k_{сек}$ , получаем:

$k_{кас} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ .

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

1. Задачи, приводящие к понятию производной

Теория: