Теория:
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю (и этот предел существует), называется производной этой функции.
(Часто вместо пишется .)
Итак, .
Пример:
1) ;
2)
Физический (механический) смысл производной: если \(s(t)\) — закон прямолинейного движения тела, то производная показывает мгновенную скорость в момент времени \(t\):
.
Геометрический смысл производной: если к графику функции \(y=f(x)\) в точке с абсциссой \(x=a\) можно провести касательную, не параллельную оси \(y\), то — угловой коэффициент касательной:
.
Поскольку , то верно равенство .
Алгоритм нахождения производной для функции \(y=f(x)\)
1. Зафиксировать значение \(x\), найти \(f(x)\).
2. Дать аргументу \(x\) приращение , перейти в новую точку , найти .
3. Найти приращение функции: .
4. Составить отношение .
5. Вычислить . Этот предел и есть .