3. Вычисление пределов последовательностей

1. найти предел последовательности:

$x_n=\frac{2}{n}-\frac{5}{n^2}+3$.

Используем правило «предел суммы»:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\left(\frac{2}{n}-\frac{5}{n^2}+3\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{2}{n}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{5}{n^2}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}3=0-0+3=3\underset{}{}$.

2. Вычислить $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{2n^2+3}{n^2+4}$.

Для таких заданий удобно использовать следующий приём: почленно разделить числитель и знаменатель дроби на максимальную степень переменной $n$. В нашем случае разделим на $n^2$:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{3}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{4}{n^2}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{2+\frac{3}{n^2}}{1+\frac{4}{n^2}}=$

— после используем правило «предел частного»:

$=\frac{2+0}{1+0}=\frac{2}{1}=2$.

Итак: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{2n^2+3}{n^2+4}=2$.