3. Вычисление пределов последовательностей

1. найти предел последовательности:

$x_n=\frac{2}{n}-\frac{5}{n^2}+3$.

Применив правило «предел суммы», получим:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\left(\frac{2}{n}-\frac{5}{n^2}+3\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{2}{n}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{5}{n^2}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}3=0-0+3=3\underset{}{}$.

2. Вычислить $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{2n^2+3}{n^2+4}$.

В подобных случаях применяют искусственный приём: делят числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной $n$. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на $n^2$. Получим:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{3}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{4}{n^2}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{2+\frac{3}{n^2}}{1+\frac{4}{n^2}}=$

— далее воспользуемся правилом «предел дроби (частного)»:

$=\frac{2+0}{1+0}=\frac{2}{1}=2$.

Итак: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\frac{2n^2+3}{n^2+4}=2$.