Теория:

Свойство 1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
 
Свойство 2. Сходящаяся последовательность ограничена.
 
Свойство 3. (Теорема Вейерштрасса)
Монотонная и ограниченная последовательность сходится.
Применим теорему Вейерштрасса для доказательства формулы площади круга S=πr2
 
В окружность будем вписывать правильные многоугольники, каждый раз увеличивая количество сторон вдвое, например, \(4\), \(8\), \(16\) и т. д. Тогда каждый последующий многоугольник будет включать предыдущий. Поэтому последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограничена (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата).
 
Значит, построенная последовательность сходится, её предел принимается за площадь круга.
 
Именно с помощью таких рассуждений и получена в математике формула площади круга S=πr2