Теория:

Свойство 1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
 
Свойство 2. Сходящаяся последовательность ограничена.
 
Свойство 3. (Теорема Вейерштрасса)
Монотонная и ограниченная последовательность сходится.
Применим теорему Вейерштрасса для доказательства формулы площади круга S=πr2
 
В окружность будем вписывать правильные многоугольники, каждый раз увеличивая количество сторон вдвое, например, \(4\), \(8\), \(16\) и т. д. Тогда каждый последующий многоугольник будет включать предыдущий. Поэтому последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограничена (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата). Поэтому полученная последовательность сходящаяся.
 
Математики вычислили предел этой последовательности, равный площади круга, и нашли формулу S=πr2